Función cuadrática - Repaso de Matemática 💪 - Física 03 - Cátedra Torti | Exapuni

Función cuadrática

En esta clase vamos a arrancar con función cuadrática. Al principio vamos a hacer una introducción conociendo qué aspecto tienen estas funciones y qué elementos claves tenemos que conocer para poder graficarlas.

⏱️ Minuto 6:00 -> Ponemos en práctica todo lo visto resolviendo varios ejercicios donde tenemos que graficar distintas funciones cuadráticas.

⏱️ Minuto 27:35 -> Ejemplo muy interesante donde aprovechamos para ver la diferencia entre la forma polinómica y la forma factorizada de una función cuadrática.

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Emmanuel 17 de abril 22:33

Profe en el último ejercicio a la hora de abordar las raíces. F(x) = -2(x+3)(x-5) pq directamente al -5 lo diste como raíz y al +3 lo tuviste que escribir así -(-3) para terminar cambiando el signo de +3 a -3. Por qué no hiciste lo mismo con -5 y lo pasaste a +5?

Flor Profesor 18 de abril 10:13

@Emmanuel Hola Emma! Primero fijate lo siguiente -> Cuando nosotros tenemos la función cuadrática en su forma factorizada, la idea para buscar las raíces es la misma de siempre: igualamos la función a cero, sólo que en este caso nos queda mucho más fácil para pensar

$f(x) = -2(x+3)(x-5) = 0$

Entonces ahí razonamos lo que mencionaba en el minuto 30:50

Lo que vos decís del final, es que cuando escribimos una cuadrática en su forma factorizada lo pensamos así

$f(x) = a \cdot (x-x_1)(x-x_2)$

donde $x_1$ y $x_2$ son las raíces de esa cuadrática.

Entonces, mirando la expresión de la nuestra y haciendo un paralelismo con esa expresión, yo podría decir, bueno, $a = -2$ y aaahhhh entonces una de las rapices tiene que ser $-3$ y la otra $5$, porque fijate que en ese caso me quedaría

$f(x) = -2 \cdot (x-(-3))(x-5)$

$f(x) = -2 \cdot (x+3)(x-5)$

Se ve un poco mejor?

Luz 15 de abril 23:44

Hola profee, como esta? Vio que nosotros sacamos las raíces con factorización. La forma canónica es otra manera de sacar las raíces no?

Flor Profesor 16 de abril 09:06

@Luz Hola Luz! Fijate que justo después de esta clase hay un apunte que armé donde me explayo bien en estas tres formas de expresar una función cuadrática (la polinómica, la factorizada y la canónica)

Igual, aprovechando tu pregunta, de cualquier forma que vos tengas escrita a la cuadrática (cualquiera de las 3), podés igualarla a cero y despejar para sacar las raices -> Si está en forma polinómica, podés usar por ejemplo la fórmula resolvente (o en algunos casos, como en el de minuto 23:50 podemos sacar factor común) - Si está en forma factorizada la tenés re fácil para sacar las raices (como en el minuto 30:50) - Y si está en la forma canónica, también podés igualarla a cero y despejar, pero lo más más útil de la forma canónica es que al toque te permite identificar donde está el vértice

Avisame si con esto y viendo el apunte que viene después de esta clase queda más claro :D

Luz 16 de abril 12:50

@Flor Muchass graciass profee!!

Demian 10 de abril 23:32

Hola profe buenas noches, estoy teniendo inconvenientes con el ejercicio 9a) ya que no sé como abordarlo

Flor Profesor 11 de abril 08:31

@Demian Hola Demian! Esos ejercicios son de la guía de Cátedra Única, así que fíjate que el Ejercicio 9.a lo tenés resuelto acá en el curso 😊 Desde la página principal del curso, en esta práctica vas a ver qué a la derecha dice "Ver guía", ahí vas a encontrar la Práctica 1 resuelta... Avísame si viendo esa resolución queda más claro y cualquier cosa lo seguimos charlando, a ver donde te estás trabando

ciro 7 de abril 19:40

Hola profe, pq a la hora de sacar Xv y hacer X2-X1 no tendria que ser 5-(-3) y ese resultado sobre 2. En cambio haces 5-3

Flor Profesor 8 de abril 08:30

@ciro Hola Ciro! Cuando queremos encontrar el $x$ del vértice a partir de las raíces hacemos $x_1 + x_2$ y eso dividido $2$, o sea:

$X_v = \frac{x_1 + x_2}{2}$

O sea, en es una suma lo del numerador :) Fijate que así obtenes el punto que está "en el medio" de $-3$ y $5$ (que es justamente lo que queremos, el vértice tiene que caer justo en el medio entre las dos raíces) Se ve?

ciro 8 de abril 17:03

@Flor muchas gracias

Milagros 30 de marzo 02:06

Hola profe, no estoy pudiendo sacar la raíz del ejercicio d

Estuve viendo la respuesta de un compañero y a él le da RAÍZ = -1, y a mi me da -1 y 3

Usted me podría explicar?

Flor Profesor 30 de marzo 10:14

@Milagros Hola Milagros! En este caso para sacar las raíces tenemos que plantear

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Cuando aplicamos la fórmula resolvente, nuestros "a", "b" y "c" en este caso serían

$a = 1$, $b = 2$ y $c = 1$

Así que la resolvente nos quedaría asi cuando reemplazamos:

$\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Y los pasos intermedios nos quedarían así:

$\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

$\frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2}$

$\frac{-2 \pm 0}{2}$

$\frac{-2}{2} = -1$

Por eso la única raíz en este caso es $x = -1$

Encontraste el error? Avisame :)

Milagros 31 de marzo 17:33

@Flor Hola profe, si ahora entendí. Yo estaba sacando la raíz de forma factorizada, muchas gracias!

moca 31 de enero 13:49

Hola profe! no sé si resolví bien el ejercicio 9a. Las coordenadas del vértice me dan (0,0) y la raíz también. Me queda una parábola convexa por debajo del eje x con vértice 0

Flor Profesor 3 de febrero 15:38

@Mora Hola Mora! Está perfecto, es así el gráfico :D Fijate que para ir chequeando estos ejercicios podés irte ayudando con GeoGebra

Ahi yo recién te grafiqué esta función, te comparto el link asi te vas familiarizando, GeoGebra va a ser muuuy útil de acá hasta el final de la materia, asi que mejor ya verlo desde ahora :D https://www.geogebra.org/calculator/prwjgvzf

Carolina 21 de agosto 11:48

Hola Flor buen día! Me quedo una duda respecto al ultimo ejercicio, en la ecuación del vértice hiciste (5-3)/2 y no lo multiplicaste por a, ¿Es porque la función es factorizada?

Flor Profesor 21 de agosto 13:07

@Carolina Hola Caro! O sea, vos el $x$ del vértice lo podés sacar como veníamos haciendo, a partir de la fórmula

$x_v = \frac{-b}{2a}$

o en un caso así, cuando ya tenés las raíces, usas que:

$x_v = \frac{(x_1 - x_2)}{2}$

(donde $x_1$ y $x_2$ son las raíces de la cuadrática, o sea, el $x$ del vértice sería lo que te queda justo en la mitad entre las dos raíces)

Fijate que en esta última manera de calcularlo ni aparece $a$, si querés pensalo como "dos fórmulas distintas"... se entiende mejor?

Lucia 29 de abril 22:38

hola profe buenas noches. si en el parcial hago los graficos con las raices en coma en vez de con raices van a estar bien igual? mi otra duda es con la forma factorizada, al principio explicaste q el 3 positivo pasaba a negativo cuando hacemos la formula, pero al hacerla te quedo -2.(x+3).(x+5), o sea el 3 lo pusiste positivo y despues en negativo. eso es lo que no me quedo muy claro

Flor Profesor 30 de abril 07:59

@Lucia Hola Lucia! Con respecto a la forma factorizada, en general la expresión es esta:

$y = a (x-x_1) (x-x_2)$ (donde $x_1$ y $x_2$ son las raíces de la parábola)

Entonces fijate, si $x=-3$ y $x=5$ son raíces te quedaría

$y = a (x- (-3)) (x-5)$

$y = a (x+3) (x-5)$

De hecho tiene sentido, porque acordate que las raíces son los $x$ que hacen que, si los metés en la función, te termine dando cero. Al tener el término $(x+3)$, si vos ponés un $x=-3$ ese termino te da cero y ya toda la multiplicación da cero, así que si, es raiz :)

Ahí se ve más claro?

Ahora, con respecto a tu primera pregunta, no terminé de entender a que te referis hacer los gráficos con las raíces con coma? O sea si por ejemplo vos tenés que una raíz es $1/2$, podés poner $1/2$ o podés poner $0.5$, es lo mismo (aunque por lo general los vamos a poner escritos como fracción directamente) Te referias a eso?

Maitena 18 de abril 19:47

Hola profe, una consulta. En el ejercicio b) -2x(x-3), ¿en lugar de hacer distributiva podría haber separado el -2x y el (x-3) e igualarlos a cero para encontrar las raíces?

Flor Profesor 18 de abril 21:14

@Maitena Exactoooo! Muy bien! Esa forma también era totalmente válida y llegabas a las mismas raíces 🤲

Luciano 7 de abril 18:13

Holaa profe, cómo estás? Resolví los ejercicios de esta guía y quería saber si están resueltos correctamente, me podrías decir por favorr.

Ej. 9

A)

f(x)= -2x*2

1) a (-) f es cóncava

2) Vértice= (0;0)

3) Raíz= 0

I de crecimiento: (-∞, 0)

I de decrecimiento (0,+∞)

C+: ∅

C-: (-∞, 0) u (0; +∞)

Ceros: X=0

D)

1) parábola convexa (+)

2) Vértice (-1,0)

3)Raíz x= -1

I de crecimiento: (-1,+ infinito)

I de decrecimiento (- infinito, -1)

C+: (- infinito, -1) u (-1, + infinito)

C-: conjunto vacío

ceros: x=-1

Im: [1, + infinito)

Ordenada al origen: 1

Con respecto al libro de calculo que habías dicho, sirve si es la séptima edición o es alguna en específico?

Espero tu respuesta, muchas graciass.

Flor Profesor 7 de abril 18:43

@Luciano Hola Luciano! El A está perfecto y del D te marco un detalle nomás, que no sé si fue un error de tipeo porque llegaste bien a todo el resto, y es que la imagen va de $[0, +\infty)$

Con respecto al Stewart, la 7ma edición va perfecto! 👍 De hecho creo que hay una 8va, pero yo al menos sigo usando la 7ma y está todo clarísimo

Luciano 7 de abril 20:01

Perdón profe, pero no estaría entendiendo pq es 0, la imagen no era mirando el eje y?

Leo 2 de abril 22:13

Que felicidad que Yv me diera 32 después de hacer toda la operacion manualmente y escucharte que tiene que ser 32. Jajaja.

Las parabolas en funciones cuadraticas son siempre simetricas? Osea el promedio puedo sacarlo siempre entre las dos raices?

Flor Profesor 7 de abril 18:45

@Leo Hola Leo! Aaayyy entré recién acá a responder una pregunta y ví que esta me quedó sin responder 😱 Perdón!

Sisi, las parábolas por definición son simétricas (el eje de simetría está justo en el vértice). Y como vos decís, tranquilamente podrías sacar el vértice siempre de esa manera, conociendo las dos raíces. Podés usar eso, o la fórmula que vimos de $x_v = -\frac{b}{2a}$, o más adelante cuando veamos derivadas, ahí vas a tener otra forma más para elegir jeje

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