Ejercicio - Factorizar la expresión

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Acerca del video

ATENCIÓN: En el ítem a) la  solución es:  es (x-9)(x+9), que es lo mismo que x^2 - 9^2, pero como en el enunciado me piden expresar el resultado como producto de dos factores debería quedar de esa forma. 
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Avatar Valebronst hace 1 día
No comprendo por que en el ejercicio "X con potencia 2 - 10 X + 25 "  se resuelve como cuadrado de un binomio, si tengo 3 términos no un binomio. Cuadrado de un binomio sería si tengo un binomio
Avatar Julieta Profesor Hace 14 horas
@Valebronst Hola Vale! Excelente observación. Lo nombro así para no sumarles terminologías que no van a usar tanto, pero efectivamente, si vos desarrollas el cuadrado de un binomio te queda un trinomio perfecto. En este caso, la expresión $x^2 - 10x + 25$ es lo que se llama trinomio cuadrado perfecto, porque proviene del cuadrado de un binomio.

Por eso aunque veas tres términos, decimos que “se resuelve como cuadrado de un binomio” ya que podemos factorizarlo así:

$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$

Es para que relacionen las fórmulas, pero tiene todo el sentido del mundo lo que decís.

De todas formas, aunque los profes acá quieren que notes que hay trinomios (los perfectos) que podrías expresar como cuadrado de binomio no te compliques mucho con esto porque en la práctica, cada vez que tengas una expresión cuadrática completa como $a x^2 + bx + c$ vas a igualarla a cero para poder usar la fórmula resolvente de cuadráticas. (Y eso lo vemos un poquito más adelante, en el tema de funciones cuadráticas).
Avatar Lucila 6 de agosto 21:11
Holaa Ju. En el ejercicio número 5 (x²-10x+25), es lo mismo escribir x²-2.x.5+5² que x²-2.5.x+5²? 🥲
Avatar Julieta Profesor 7 de agosto 12:04
@Lucila Hola bella! Sí! Es lo mismo, porque aplica la famosa frase: "El orden de los factores no altera al producto", que básicamente significa que no importa si el 2 multiplica al 5 y después a la x, o si la x multiplica al 2 y después al 5.. da igual.. el orden de esos factores (las cosas que se multiplican) no alteran el producto (el resultado de la multiplicación). 

x² - 2.x.5 + 5²    =    x² - 2.5.x + 5²     =     x² - 10x + 25
Avatar Lucila 7 de agosto 20:02
@Julieta Gracias <3
Avatar Ivanna 20 de julio 19:03
Hola, no entiendo porqué dice que se debe expresar como un producto y sigue expresándose como una resta ( x al cuadrado menos 9 al cuadrado ). Un producto no seria una multiplicación? estaba justo leyendo la aclaraciòn , pero no entiendo igualmente como llegò a (x-9)(x+9)
Avatar Julieta Profesor 21 de julio 11:46
@Ivanna Hola Ivanna! Exactamente como decís! Un producto es una multiplicación. Y ahí lo que hacemos es recordar que la diferencia de cuadrados se expresa como un factor de la siguiente manera: 

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Cuando factorizas una diferencia de cuadrado es más que nada acordarte esa fórmula. Pero cuando es lo contrario (tomar un producto y desarrollarlo en sumas y restas) o bien, podés usar esta misma fórmula, o aplicas la propiedad distributiva y hacer las cuentas, y vas a llegar a lo mismo. Este ejemplo está en el video "Producto de expresiones algebraicas" ☺️
Avatar Aldana 6 de junio 07:13
una consulta, en el ejercicio del minuto 9 no entiendo como identificar que se usa cuadrado de un binomio, por que no hay 2 numeros elevados al cuadrado 
Avatar Julieta Profesor 6 de junio 15:14
@Aldana Hola Aldana! Muy buena pregunta! Ocurre que acá buscamos factorizar, es decir, pasar de expresiones desarrolladas donde tenemos sumas y restas, a productos de factores. ¿Por qué? Porque esto lo vas a hacer muchísimas veces en esta materia, y es fundamental aprenderlo. 


En el ejercicio que comentas $x^2-10x+25$, lo que tenemos en realidad es un trinomio perfecto, que es lo que se obtiene al desarrollar el cuadrado de un binomio. Acá sería como hacer la operación inversa. Por eso pasamos de esos 3 términos a los 2 términos que se multiplican (a esos 2 paréntesis). 

Y acá quiero traerte mucha calma, porque en la práctica, vos no vas a tener que usar cuadrado de un binomio para esto, solamente para desarrollar expresiones (lo que hacemos cuando aplicamos la fórmula). Esto realmente lo vas a resolver aplicando la fórmula resolvente de cuadráticas, llamada Bhaskara II.

¿Por qué no lo resolvemos ahora así? Porque eso lo vemos en la parte de funciones. Así que te recomiendo saltear este ejercicio. Quedarte con lo importante que es el concepto de factorizar, y ya más adelante te vas a cansar de usar al fórmula resolvente para factorizar ese tipo de expresiones.

Avatar maite 25 de abril 13:42
y otra cosa jeje, como hiciste para llegar al x-5^2 en el minuto 10:15?
Avatar Julieta Profesor 26 de abril 09:00
@maite Esa factorización (pasar de sumas y restas a producto de factores) la hice aplicando la fórmula de cuadrado del binomio al revés jeje. Peeeero, tranqui porque realmente en la práctica, si vos ya sabés usar la resolvente lo vas a hacer así. Ya que es una cuadrática ($x^2 -10x+25$) donde $a=1$, $b=10$ y $c=25$. 

Esto es algo inicial que les hacen hacer (para mi un poco al dope) porque después aprendés la fórmula resolvente y es la que vas a usar siempre.
Avatar maite 25 de abril 13:11
hola juli, en el tercer caso, no podría ser x^4 - 2^4? yo sin mirar la explicacion lo habia pensado asi

Avatar Julieta Profesor 25 de abril 13:28
@maite Hola Maite, sí, pero no lograrías aplicar la fórmula de diferencia de cuadrados para que te quede un producto de dos factores. Acordate que la ideal del ejercicio es poder factorizar, o sea, pasar de sumas y restas a producto.
Avatar Magdalena 8 de abril 12:37
Holaa, en el  tercero, me puede quedar asi: (X-2) ELEVDADO A LA CUARTA DIRECTAMENTE?
O SINO XELEVADO A LA 4, Y 2 ELEVADO A LA 4?

Avatar Julieta Profesor 8 de abril 17:13
@Magdalena Nop, mismo motivo que antes. Una cosa es diferencia de cuadrados y otra muy distinta es cuadrado de un binomio.


Te muestro la diferencia con un ejemplo:

$(x-9)(x+9)$, si hacés distributiva te queda $x^2 - 9^2$. Esto es una diferencia de cuadrados, y se desarrolla así:

$x^2 - 9^2 = x^2 - 81$


Ahora.. si tenés:

$(x-9)(x+9)$, podés escribirla como $(x - 9)^2$. Esto es un cuadrado de un binomio, y se desarrolla haciendo la distributiva o con la fórmula $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

Aplicando la fórmula:


$(x - 9)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = x^2 - 18x + 81$


Los resultados son diferentes, porque son expresiones diferentes.

Avatar Magdalena 8 de abril 12:33
Holaa! En el primero me puede quedar así: (X-9) elevado al cuadrado? ósea todo el paréntesis y afuera el cuadrado?????
Avatar Julieta Profesor 8 de abril 17:06
@Magdalena Hola Magda! Nuuuu, no te puede quedar así porque eso que decís sería el cuadrado de un binomio. Plantealo y hacé la distributiva, y fijate que te da un resultado que nada que ver. En definitiva $(x^2-9^2)  \neq (x-9)^2$
Avatar COLORES 22 de marzo 13:35
no entiendo porque en el ejercicio 5 del cuadrado del binomio sale ese resultado.
Avatar Julieta Profesor 23 de marzo 14:58
@COLORES Ohh no entiendo cuál sería la confusión. Me indicarías más sobre tu consulta porfa?
Avatar COLORES 22 de marzo 13:26
hola profe yo lo hice distinto  pero en la comprobación con distributiva me dio igual al ejercicio inicial. Hice primero factor común x a la cuarta .. x a la cuarta  ( 3x Elevado a la -1 + 5x elevado a la -2 ), despúes aplique las reglas de los signos entre potencias,  perdón pero no encuentro en el teclado el signo de potencia, esta desconfigurado.
Avatar Julieta Profesor 23 de marzo 14:56
@COLORES Hola!! Bueno, a ver, está mal pero no tan mal JAJA.. Ocurre que el factor común tiene que ser la menor potencia presente en todos los términos. En este caso sería $x^2$, ya que si descompones la expresión en función de ese factor aparece en todos, fijate que yo puedo reescribir: $x^4 + 3x^3 + 5x^2$ como $x^2(x^2 + 3x + 5)$. Por definición ese es justamente el factor común y es lo que tenés que aplicar Porque $x^4$ es un factor que está presente solo en el primer término. Así como $x^3$ está presente en el primer y segundo término (sí, dije bien, en el primero también porque $3x^3 . x$ es lo mismo que $x^4$). Pero el que está presente en toooodos los términos es el $x^2$. 


Avatar Yuliana 11 de enero 23:21
Juli no entiendo, cuales son los dos factores? 
Avatar Julieta Profesor 15 de enero 18:17
@Yuliana Factores se le dice en matemática a dos cosas que se multiplican. Por ejemplo, producto de dos factores podrían ser: 
2.x
-5.x
6.b
3.(x+5)
(x-8).(5x-8) 

Un producto de tres factores sería:
2.x.a
3(x+1)(x-9)
Avatar Andrea 20 de julio 20:13
Hola! tengo una duda: la consigna es escribir como producto de dos factores. El primer ejercicio queda como una resta, estaría bien asi?
Avatar Julieta Profesor 21 de julio 08:33
@Andrea ¡Hola Andre! Dejé una aclaración en la descripción del video, porque sí, me saltié el final jeje.
Avatar valentina 18 de abril 23:34
hola profe! no entiendo por qué el cuadrado de un binomio debería tener una x al medio en el primer ejercicio, la que hiciste ahí no es una ec. cuadratica? estoy completamente confundida, no entendí nada. Cuadrado de un binomio no es a^2 + 2ab + b^2?
Avatar Santi 19 de abril 06:26
@valentina el primer ejercicio es una diferencia de cuadrados, pero entiendo que si tuvieras  x^2 + 18 - 81, capaz te daa cuenta que es un cuadrado de un binomio: x^2 + 18 - 81 = x^2 + 2a9 -9^2 =(x-9)^2. Eso le entendi.

Avatar facundo 27 de marzo 23:44
El ante último me voló la cabeza, no terminé de entender por qué debajo de -10x hay -2 y no un (1) en la fracción 
Avatar Julieta Profesor 28 de marzo 09:18
@facundo Jeje tranqui, porque más adelante en funciones cuadráticas vas a ver cómo factorizar esas expresiones usando una fórmula (la famosa fórmula resolvente). Así que no te hagas mucho drama si no te sale factorizar mirando así en esos casos particulares. Ahora bien, lo que yo hice en ese ejercicio, es pensar qué número tenía que ser el que, al multiplicarse por -2 me diera como resultado el -10. ¿Por qué hice eso? Porque sé que la fórmula del cuadrado de un binomio (la de la resta) es: 
$(a-b) = a^2 - 2 . a . b + b^2$, y en este caso $a=x$ y  $b=5$, yo en el segundo  simplemente les mostré que $-10 x$ viene del segundo término de la fórmula: $-2.a.b$, encones, nos quedaba $-2.x.b$. ¿Cuánto tiene que valer $b$ para que al multiplicarlo por -2 te de -10?. Yo lo hice así dividiendo en el momento pero, o podés razonarlo mentalmente, o hasta te podrías hacer una cuentita:
$-10 x = -2 . x . b$
$\frac{-10 x}{ -2 x} = b $
$  5 = b$.

Igual, no te mambees con esto por favor te lo pido, si no te quedo 100% claro, avanzá, que más adelante vas a poder resolverlo con esa fórmula, que es al fin y al cabo la que vas a usar en los parciales.
Avatar facundo 28 de marzo 11:57
Mil gracias por responder  <3
Avatar Lucre 10 de mayo 10:12
hola profe no entiendo el 1ro, no veo en el resultado los dos factores sino que queda quedando como resta?
Avatar Julieta Profesor 15 de mayo 09:23
@Lucre ¡Hola Lucre! Sí, jeje coloqué una aclaración bajo el video. 
Avatar Lara 7 de abril 12:30
Me olvide una cosa, y como el titulo dice producto y en 1ro quedo con resta
Avatar Julieta Profesor 12 de abril 18:10
@Lara Sí!! Exacto, ahí respondí en el otro comentario :D Gracias Lara
Avatar Lara 7 de abril 12:29
Hola Profe, me quede con duda del 1ro, porque no tendríamos la misma situacion que en el ultimo? Y el ultimo lo expresamos como (2x-3)(2+3), pero el 1ro como x elevado 2 - 9 elevado cuadrado no seria lo mismo que expresarlo = (x-9)(x+9) ?
Avatar Julieta Profesor 12 de abril 18:10
@Lara ¡Hola Lara! Excelente observación. Es lo mismo escribir (x-9)(x+9) que x^2-9^2. De hecho tendría que haber escrito en el primer ítem el resultado como el producto de dos factores "(x-9)(x+9)" (que es justamente lo que me piden en el enunciado del ejercicio jaja). Pero me emocioné explicando la diferencia de cuadrados jajaja.
Avatar Micaela 30 de marzo 18:10
Hola, no entiendo el ante ultimo punto. Entiendo la formula, pero no entiendo como se llega a (x-5) al cuadrado?
Avatar Julieta Profesor 12 de abril 18:07
@Micaela No te mambees con ese caso, generalmente es al revés: uno tiene (x-5)^2 y tiene que desarrollarlo con la fórmula del cuadrado de un binomio. Pero este ejemplo es para que vean que si uno "afina el ojo" puede notar que ciertas expresiones pueden reescribirse fácilmente de otra forma recordando este tipo de fórmulas. Más adelante, cuando veas funciones cuadráticas vas a llegar a eso mismo pero por otro lado más amigable :D
Avatar Daniela 20 de abril 15:59
@Micaela hola! en el anteultimo punto el producto de 2 factores no seria (x-5).(x+5) para que me de el signo en el binomio? me aclararias esto porfis?? gracias
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