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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 2 - Límite y continuidad

EJERCICIO 2.1

A partir de cada gráfica de la función, determinar:

$$\lim_{{x \to a^+}} f(x) \quad \lim_{{x \to a^-}} f(x) \quad \lim_{{x \to a}} f(x)$$

a)
b)
c)
d)
EJERCICIO 2.2

Dada la función $g(x)$, cuya gráfica aparece a continuación, decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas.

a) $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} g(x)=1$
b) $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} g(x)=1$
c) $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} g(x)=1$
d) $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} g(x)=0$
e) $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} g(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)$
f) $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)$ existe
g) $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=0$
h) $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=1$
i) $\lim _{x \rightarrow 1} g(x)=1$
j) $\lim _{x \rightarrow 1} g(x)=0$
k) $\lim _{x \rightarrow 2^{-}} g(x)=2$
l) $\lim _{x \rightarrow-1^{-}} g(x)$ no existe
m) $\lim _{x \rightarrow 2^{+}} g(x)=0$
EJERCICIO 2.3 Recomendado por la profe

Dadas las siguientes funciones, calcular los límites indicados.

a) $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)$ si $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x+3 & x \leq 3 \\ x-1 & x>3\end{array}\right.$
b) $\lim _{x \rightarrow 2} f(x)$ si $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2} & x \neq 2 \\ -1 & x=2\end{array}\right.$
c) $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ si $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-x & x<1 \\ 3 & x=1 \\ x & x>1\end{array}\right.$
d) $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ y $\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$ si $f(x)=\begin{cases}\sqrt{1-x^{2}} & 0 \leq x<1 \\ 1 & 1 \leq x<2 \\ 2 & x=2\end{cases}$
EJERCICIO 2.4 Recomendado por la profe

Calcular los límites laterales indicados, analizando previamente el dominio de la función.

a) $\lim _{x \rightarrow-2^{-}} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}}$ y $\lim _{x \rightarrow-1^{+}} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}}$
b) $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$ y $\lim _{x \rightarrow-2^{-}} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$
c) $\lim _{x \rightarrow-1^{-}}\left(\frac{x}{x+1}\right)\left(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}\right)$ y $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{x}{x+1}\right)\left(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}\right)$
d) $\lim _{s \rightarrow-3^{+}} \ln (s+3)$
e) $\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{h^{2}+4 h+5}-\sqrt{5}}{h}$
EJERCICIO 2.5 Recomendado por la profe

Dadas las siguientes funciones, identificar su dominio y calcular los límites indicados.

a) $\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x+1}{x+3}$
b) $\lim _{h \rightarrow-3} \frac{5 h^{2}}{h+3}$
c) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+3}{x^{2}}$
d) $\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{x-1}{x}}$
e) $\lim _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4}} \cos (\theta)-\sin (\theta)$
f) $\lim _{y \rightarrow 3} \frac{y^{2}-9}{y-3}$
g) $\lim _{x \rightarrow-3} \frac{2 x^{3}-5}{(x+3)(x-1)^{2}}$ y $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{3}-5}{(x+3)(x-1)^{2}}$
h) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{4}-3 x^{3}+2 x^{2}}{x^{3}+x^{2}}$
i) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{4}-16}{x^{2}+x-6}$
j) $\lim _{y \rightarrow 3} \frac{y^{2}-y-6}{\sqrt{y^{2}+7}-4}$
EJERCICIO 2.6 Recomendado por la profe

¿Para qué valores de $a \in \mathbb{R}$ el $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+a x+1}-1}{x}=2$ ?

EJERCICIO 2.7

A partir de la gráfica de la función determinar, si existen, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ y $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$.

a)
b)
c)
d)
e)
f)
EJERCICIO 2.8 Recomendado por la profe

Calcular los límites indicados, para $x$ tendiendo a infinito.

a) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{2}{x}-3\right)$
b) $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(-1+\frac{5}{x}\right)$
c) $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{5}-x^{6}+\sqrt{x}$
d) $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(2 x^{7}-3 x^{5}+7\right)$
e) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{2}+8 x-3}{3 x^{2}+2}$
f) $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{11 x+2}{2 x^{3}-1}$
g) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{2}-3}{7 x+4}$
h) $\lim _{x \rightarrow+\infty} x-\sqrt{x^{2}+3}$
i) $\lim _{x \rightarrow-\infty} \sqrt{x^{2}-2 x+3}+x$
j) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{7^{x+1}+2}{7^{x}-3}$
EJERCICIO 2.9 Recomendado por la profe

Calcular, si es posible, los límites de las siguientes funciones cuando $x \rightarrow+\infty$ y cuando $x \rightarrow-\infty$.

a) $f(x)=\frac{3}{x^{2}+8}-11$
b) $f(x)=\sqrt{1-x}$
c) $f(x)=\ln (x)$
d) $f(x)=e^{-x}$
e) $f(x)=\ln \left(\frac{1}{x}\right)$
f) $f(x)=e^{x}-3$
g) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$
EJERCICIO 2.10

Hallar $a$ y $b>0$ tales que el $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{a x^{4}+b x^{3}}}{x}-x\right)=4$.

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