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Álgebra A 62

2026 ESCAYOLA

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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA

Unidad 6

EJERCICIO 1

Determinar si la función $T$ es una transformación lineal.

a) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}+3,-x_{2}\right)$.
b) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}, 2 x_{1}\right)$.
c) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4},\; T\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, 0,0\right)$.
d) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(3 x_{1}-x_{2}, x_{3}, 2 x_{2}-3\right)$.
EJERCICIO 2

En cada caso, hallar la expresión funcional de $T(\vec{v})=A \vec{v}$.

a) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 0\end{array}\right)$.
b) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -4 & -6\end{array}\right)$.
c) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$.
d) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 0 & 2\end{array}\right)$.
e) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0\end{array}\right)$.
f) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
g) $T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; A=\left(\begin{array}{cccc}-1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$.
EJERCICIO 3

En cada caso, hallar la expresión matricial canónica de $T$.

a) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}+3 x_{2}, x_{1}-x_{2}\right)$.
b) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3},\; x_{1}-x_{2},\; 2 x_{2}+x_{3}\right)$.
c) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1},\; x_{1}+x_{2},\; x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)$.
d) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(-x_{1}+x_{2},\; x_{1}+3 x_{2},\; x_{1}-x_{2}\right)$.
e) $T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{4},\; x_{2},\; x_{1}-x_{3}\right)$.
EJERCICIO 4

Decidir si existe una transformación lineal $T$ que satisfaga:

a) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T(1,-1)=(3,0)\; \text{y}\; T(2,-2)=(0,-2)$.
b) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T(1,-2,0)=(3,4),\; T(2,0,1)=(-1,1)\; \text{y}\; T(0,4,1)=(-7,-7)$.
c) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T(1,1,1)=(2,3,4),\; T(0,1,1)=(1,2,1)\; \text{y}\; T(1,2,2)=(1,1,5)$.
d) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T(1,1)=(2,1,1),\; T(1,0)=(0,2,0)\; \text{y}\; T(5,2)=(4,8,2)$.
EJERCICIO 5

Hallar las expresiones funcional y matricial de la transformación lineal $T$.

a) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ tal que $T(1,0,0)=(2,1,-1),\; T(0,1,0)=(3,-1,1)$ y $T(0,0,1)=(0,0,4)$.
b) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ tal que $T(2,0,0)=(4,2,2),\; T(0,4,0)=(1,1,1)$ y $T(0,0,3)=(0,0,-1)$.
c) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ tal que $T(1,1,-1)=(0,3,1),\; T(1,0,1)=(2,-1,1)$ y $T(1,1,0)=(3,2,4)$.
d) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ tal que $T(1,-1)=(2,1)$ y $T(1,1)=(0,1)$.
EJERCICIO 6

Hallar todos los valores de $k \in \mathbb{R}$ tales que

a) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{cc}1 & k \\ 0 & 2\end{array}\right)\cdot \vec{v}$, verifica $T(1,1)=(-3,2)$.
b) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & k\end{array}\right)\cdot \vec{v}$, verifica $T(1,2,1)=(-1,5,-6)$.
EJERCICIO 7

En cada caso, hallen una base de la imagen $T(S)$ del subespacio $S$ por la transformación lineal $T$. Interpretar geométricamente.

a) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ -1 & -3\end{array}\right)\cdot \vec{v}$ para $S=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}-x_{2}=0\right\}$.
b) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right)\cdot \vec{v}$ para: (i) $S=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=0\right\}$ (ii) $S=\langle(1,2,0)\rangle$.
EJERCICIO 8

Hallar la preimagen $T^{-1}(M)$ del conjunto $M$ por la transformación lineal $T$. Interpretar geométricamente.

a) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(8 x_{1}, 3 x_{1}-x_{2}\right)$, para: (i) $M=\{(1,2)\}$ (ii) $M=\langle(1,1)\rangle$.
b) $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2 & 0\end{array}\right)\cdot \vec{v}$, para: (i) $M=\{(3,k)\},\; k \in \mathbb{R}$ (ii) $M=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}+x_{2}=0\right\}$.
c) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{3}, x_{2}, x_{2}\right)$, para: (i) $M=\{(-2,1,2)\}$ (ii) $M=\langle(2,1,1)\rangle$.
d) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right)\cdot \vec{v}$, para: (i) $M=\{(2,-1,3)\}$ (ii) $M=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$.
EJERCICIO 9

Sean $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ la transformación lineal $T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}\right)$, $w=(2,3)$, $S=\langle(1,2,1)\rangle$ y $L=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: 3 x_{1}-2 x_{2}=0\right\}$. Hallar $T(S)$, $T^{-1}(w)$ y $T^{-1}(L)$.

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