Hallar, si es que existen, todos los valores de $a,b\in\mathbb{R}$ para los cuales $(1,-2,3)$ es solución del sistema lineal dado en cada uno de los siguientes casos:

a) $\left\{\begin{array}{rll}2bx+y-z&=&1\\ x-ay+z&=&0\\ 4x-by+az&=&4\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{aligned} x+2ay+z&=0\\ ay-bz&=4\\ x+by+(2a+b)z&=b\end{aligned}\right.$

Clasificar cada uno de los siguientes sistemas lineales. Cuando el sistema sea compatible determinado, obtener la solución. Cuando el sistema sea compatible indeterminado, describir el conjunto de todas las soluciones. Si es incompatible, no hacer nada.

a) $\left\{\begin{array}{r}3x+5y=2\\ -2x+4y=6\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}x-2y=0\\ 2x+y=0\\ x+3y=1\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}x-2y=2\\ 2x+y=1\\ x+3y=-1\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}x+2y+z=3\\ x-2y+z=3\\ 2x+y-z=0\end{array}\right.$

e) $\left\{\begin{aligned}2x+y-z&=8\\ x-y+z&=1\\ 5x+y-z&=17\end{aligned}\right.$

f) $\left\{\begin{aligned}2x+y-z&=3\\ x-y+z&=2\\ 5x+y-z&=-5\end{aligned}\right.$

g) $\left\{\begin{aligned}3y-2z+3w&=9\\ 2x+y+w&=5\\ x-y+z-w&=-2\end{aligned}\right.$

h) $\left\{\begin{aligned}x+2y-z+2t&=0\\ x+y+z+2t&=1\\ -x+y-5z-2t&=-3\end{aligned}\right.$

Analizar cada uno de los siguientes sistemas determinando, en cada caso, los valores de $k$ (si existen) que hacen que el sistema resulte compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

a) $\left\{\begin{aligned}(k^{2}-9)x+y+kz&=0\\ (k-1)y+z&=0\\ (k+2)z&=0\end{aligned}\right.$

b) $\left\{\begin{aligned}x+y+z&=k\\ x+ky+z&=1\\ kz&=2\end{aligned}\right.$

c) $\left\{\begin{aligned}x+y+z&=1\\ (k+2)x+ky-z&=0\\ -x+y-2z&=-1\end{aligned}\right.$

d) $\left\{\begin{aligned}7x+ky+(4+k)z&=12\\ 6x+ky+3z&=9\\ kx+(3-k)z&=3\end{aligned}\right.$

e) $\left\{\begin{aligned}2x+3y-z&=3\\ x-y+3z&=1\\ 3x+7y-5z&=k^{2}\end{aligned}\right.$

f) $\left\{\begin{aligned}x+ky+2z-w&=k+2\\ x+ky-2z&=2\\ -4z+k^{2}w&=-3k-2\end{aligned}\right.$

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ll}1&2\\0&1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ll}1&0\\3&1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ll}-1&0\\-1&0\end{array}\right)$, calcular:

a) $A+3B-3C$.

b) $A+3(B-C)$.

c) $A-(B-2C)$.

d) $A-B+2C$.

Se consideran matrices de los siguientes tamaños: $A\in\mathbb{R}^{4\times 5}$, $B\in\mathbb{R}^{5\times 7}$, $C\in\mathbb{R}^{7\times 5}$. Indicar cuáles de las siguientes operaciones son posibles. En caso afirmativo, indicar el tamaño (número de filas y de columnas) de la matriz resultado.

a) $A\cdot B$

b) $B\cdot A$

c) $B\cdot C$

d) $C\cdot B$

e) $A\cdot B\cdot C$

f) $B\cdot C\cdot A$

g) $A\cdot A$

h) $B\cdot C\cdot B\cdot C$

Cuando sea posible, calcular $A\cdot B$ y $B\cdot A$. ¿Vale la igualdad entre estos productos?

a) $A=\left(\begin{array}{rr}2&3\\1&-4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{rrr}3&-2&2\\1&0&-1\end{array}\right)$.

b) $A=\left(\begin{array}{lll}1&2&3\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{r}-2\\4\\1\end{array}\right)$.

c) $A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\2&-1&2\\2&2&1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{rrr}2&1&4\\3&0&-1\\4&-1&5\end{array}\right)$.