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Álgebra A 62

2026 ESCAYOLA

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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA

Unidad 2

EJERCICIO 1

En cada uno de los siguientes casos, decidir gráfica y analíticamente cuáles de los puntos pertenecen a la recta $L$.

a) $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{2}: X=\lambda(-2,3)+(2,2), \lambda \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{R}^{2}$

$P_{1}=(2,2), P_{2}=(-2,3), P_{3}=(0,0), P_{4}=(12,-13), P_{5}=(2,-1)$.
b) $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(-1,1,1)+(3,-3,-3), \lambda \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{R}^{3}$.

$P_{1}=(3,-3,-3), P_{2}=(0,0,0), P_{3}=(-1,1,1), P_{4}=(3,4,0), P_{5}=\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$.
EJERCICIO 2

Graficar y dar una ecuación vectorial para la recta que:

a) pasa por $P=(-1,2)$ con vector director $v=(3,1)$.
b) pasa por $P=(1,-4)$ y $Q=(-1,-3)$.
c) es paralela a la recta $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{2}: X=\lambda(-2,3)+(1,-1), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$ y pasa por $P=(1,-4)$.
d) es perpendicular a la recta $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{2}: X=\lambda(2,3)+(5,7), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$ y pasa por el origen.
EJERCICIO 4

En cada uno de los siguientes casos, dar una ecuación vectorial para la recta que:

a) está dirigida por $v=(0,1,0)$ y pasa por $P=(0,2,4)$.
b) pasa por los puntos $P=(-2,3,4)$ y $Q=(-1,3,1)$.
c) es paralela al eje $z$ y pasa por $P=(1,2,3)$.
d) es perpendicular a la recta $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(1,-2,1)+(3,5,7), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$ y pasa por $P=(1,9,-3)$. ¿Es única?
EJERCICIO 5

En cada uno de los siguientes casos, decidir cuáles de los puntos pertenecen al plano $\Pi$:

a) $\Pi=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(0,1,0)+\mu(1,0,0)+(0,0,1), \lambda, \mu \in \mathbb{R}\right\}$.\\

$P_{1}=(1,1,1), P_{2}=(1,1,0), P_{3}=(0,1,1), P_{4}=(a, b, 0), P_{5}=(a, b, 1)$.
b) $\Pi=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(0,2,0)+\mu(1,1,0)+(-1,2,1), \lambda, \mu \in \mathbb{R}\right\}$.\\

$P_{1}=(3,-3,1), P_{2}=(0,0,0), P_{3}=(0,5,1), P_{4}=(-4,3,1), P_{5}=\left(-\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}\right)$.
EJERCICIO 6

a) Dar una ecuación implícita para el plano $\Pi=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(1,1,0)+\mu(0,-1,2)+(-2,0,4), \\ \lambda, \mu \in \mathbb{R}\right\}$.
b) Dar una ecuación vectorial para el plano $\Pi=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}:-x+3 y+2 z=1\right\}$.
EJERCICIO 7

Dar una ecuación vectorial y una ecuación implícita para el plano que:

a) pasa por los puntos $(2,1,2),(1,1,1)$ y $(3,2,7)$.
b) pasa por el punto $(1,2,1)$ y es paralelo al plano que contiene a los ejes $x$ e $y$.
c) es paralelo a la recta $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(1,2,-4)+(1,2,1), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$ y contiene a los puntos $P=(2,2,1)$ y $Q=(1,2,-3)$.
d) contiene al punto $(-1,2,2)$ y es ortogonal a la recta $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(1,1,-1)+(-1,2,2), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$.
EJERCICIO 8

a) Decidir si los puntos $A=(1,1,1), B=(-2,0,1)$ y $C=(3,0,2)$ son colineales (están sobre una misma recta) o no.
b) Decidir si los puntos $A=(8,2,4), B=(4,2,8), C=(-2,0,1)$ y $D=(1,-1,3)$ son coplanares (están sobre un mismo plano) o no.
EJERCICIO 9

Dado el plano $\Pi=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x-5 y+3 z=11\right\}$:

a) Hallar todos los valores de $a \in \mathbb{R}$ para los cuales $(2 a, a, 7) \in \Pi$.
b) Decidir si existe algún valor de $a \in \mathbb{R}$ tal que $(1,3 a, 5 a) \in \Pi$.
EJERCICIO 10

Calcular el producto vectorial $\vec{u}=\vec{v} \times \vec{w}$ para los siguientes pares de vectores (En cada caso, verificar que $\vec{u}$ es ortogonal tanto a $\vec{v}$ como a $\vec{w}$.):

a) $\vec{v}=(1,-2,-4), \\ \vec{w}=(1,-2,-4)$.
b) $\vec{v}=(1,-2,-4), \\ \vec{w}=(2,1,-3)$.
c) $\vec{v}=(2,1,-3), \\ \vec{w}=(1,-2,-4)$.
d) $\vec{v}=(2,0,0), \\ \vec{w}=(0,0,3)$.
EJERCICIO 11

Sean $\vec{u}=(1,2,-3), \vec{v}=(-1,5,2), \vec{w}=(1,2,4)$ y $\vec{z}=(2,-4,8)$. Hallar en $\mathbb{R}^{3}$:

a) un vector no nulo que sea, simultáneamente, ortogonal a $\vec{u}$ y $\vec{v}$. ¿Es único?
b) todos los vectores que son, simultáneamente, ortogonales a $\vec{w}$ y $\vec{z}$.
c) un vector de norma 2 que sea, simultáneamente, ortogonal a $\vec{w}$ y $\vec{z}$. ¿Es único?
EJERCICIO 12

Calcular nuevamente las ecuaciones implícitas de los planos del Ejercicio 7 por medio de su ecuación normal y utilizando el producto vectorial convenientemente para calcular los vectores normales de los mismos.

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