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Matemática 51
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
14.
Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función $f$. Dar la imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Graficar $f$.
f) $f(x)=\frac{1}{4}x^2-3x-2$
f) $f(x)=\frac{1}{4}x^2-3x-2$
Respuesta
Identifiquemos primero qué tipo de estructura de función cuadrática tenemos (polinómica, factorizada o canónica).
Es polinómica: $f(x) = ax^2 +bx + c$, donde $a = \frac{1}{4}$, $b = -3$ y $c = -2$
El vértice de la función $(Xv, Yv)$ se halla utilizando $Xv = \frac{-b}{2a}$ y $Yv = f(Xv)$. Entonces, con $a = \frac{1}{4}$ y $b = -3$, obtenemos $Xv = \frac{-(-3)}{2.1/4} = 6$. Sustituyendo este valor en la función, tenemos $Yv = f(6) = \frac{1}{4}(6)^2 -3(6) -2 = 9-18-2 = -11$.
$V = (6, -11)$
La imagen de la función depende del signo de $a$ y del valor de $Yv$. Como $a = \frac{1}{4}>0$, la imagen de $f$ será $[Yv, +\infty)$
$\text{Im}f = [-11, +\infty)$
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se determinan por el signo de $a$ y el valor de $Xv$. Como $a = \frac{1}{4}>0$, estos intervalos serán $I\uparrow = (Xv, +\infty)$ e $I\downarrow = (-\infty, Xv)$.
$I\uparrow = (6, +\infty)$
$I\downarrow = (-\infty, 6)$
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