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La imagen de la función depende del signo de $a$ y del valor de $Yv$. Como $a<0$ la imagen tendrá la forma $\text{Im}f = (-\infty, Yv]$.
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Matemática 51
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
14.
Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función $f$. Dar la imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Graficar $f$.
c) $f(x) = -x^2 - 2$
c) $f(x) = -x^2 - 2$
Respuesta
Identifiquemos primero qué tipo de estructura de función cuadrática tenemos (polinómica, factorizada o canónica).
Es polinómica: $f(x) = ax^2 +bx + c$,donde $a = -1$, $b = 0$ y $c = -2$.
El vértice de la función se encuentra en el punto $(Xv, Yv)$, donde $Xv = \frac{-b}{2a}$ y $Yv = f(Xv)$.
En este caso $a = -1$ y $b = 0$, entonces se tiene $Xv = \frac{-0}{2*-1} = 0$. Sustituyendo este valor en la función encontramos $Yv = f(0) = -(0)^2 - 2 = -2$.
$V = (0, -2)$
$\text{Im}f = (-\infty, -2]$
Los intervalos en los que la función es creciente y decreciente dependen del signo de $a$ y el valor de $Xv$. Como $a < 0$, estos intervalos serán $I\uparrow = (-\infty, Xv)$ e $I\downarrow = (Xv, +\infty)$.
$I\uparrow = (-\infty, 0)$
$I\downarrow = (0, +\infty)$
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