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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones (Anterior)

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3. Hallar el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \text{Im} f$.
c) $f(x)=\frac{5x}{x^2-4}$

Respuesta

Primero calculamos el dominio de la función:
$f(x)=\frac{5x}{x^2-4}$ Para encontrar el dominio, debemos asegurarnos de que el denominador no sea igual a cero: $x^2-4\neq0$ $x^2\neq4$

$\sqrt{x^2}\neq\sqrt{4}$
  $|x|\neq\sqrt{4}$ $|x|\neq2$ Por lo tanto, el dominio de \(f\) es \(\mathbb{R}\) excepto \(x=-2\) y \(x=2\), es decir: \(\text{Dom } f=(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)\)

Para saber si -3 pertenece a  la imagen de la función, podemos armar una tabla de valores y graficar la función, ya que aún no sabemos calcularla. 

***Mi recomendación para este ejercicio: hacé una tabla de valores y graficá aproximadamente la función para luego evaluar qué pasa para $y=-3$.***


Ahora bien, otra forma un poco más rebuscada, sería reemplazar el -3 como valor de la función y ver si corresponde a una $x$ perteneciente al dominio de la función:

Es decir, planteamos que $f(x)= -3$ y despejamos $x$:

$\frac{5x}{x^2-4} = -3$

$ 5x= -3(x^2-4)$
$5x = -3x^2+12$

$3x^2 + 5x -12= 0$ Uso la fórmula resolvente de cuadráticas (Baskahara), donde $a=1, b=15, c=-4$, y obtenemos: $x_1= \frac{4}{3} \approx 1,333...$ $x_2= -3$

Esos dos valores de $x$ están dentro del dominio de la función. Es decir, están dentro de $(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)$. 

Conclusión: $-3$ pertenece a la imagen de la función.
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Avatar Aixa 16 de abril 20:45
Duda, a mi me dio la f. Cuadratica ( 3x^2+5x+12=0) y sus raíces x=4/3, x=-3

Avatar Aixa 16 de abril 20:48
Me parece que tendrías que pasar x^2-4 multiplicando por -3
Avatar Julieta Profesor 17 de abril 11:07
@Aixa Gracias Aixa 
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