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Matemática 51
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Hallar el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \text{Im} f$.
c) $f(x)=\frac{5x}{x^2-4}$
c) $f(x)=\frac{5x}{x^2-4}$
Respuesta
Primero calculamos el dominio de la función:
$f(x)=\frac{5x}{x^2-4}$
Para encontrar el dominio, debemos asegurarnos de que el denominador no sea igual a cero:
$x^2-4\neq0$
$x^2\neq4$$\sqrt{x^2}\neq\sqrt{4}$
$|x|\neq\sqrt{4}$
$|x|\neq2$
Por lo tanto, el dominio de \(f\) es \(\mathbb{R}\) excepto \(x=-2\) y \(x=2\), es decir:
\(\text{Dom } f=(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)\)
Para saber si -3 pertenece a la imagen de la función, podemos armar una tabla de valores y graficar la función, ya que aún no sabemos calcularla.
***Mi recomendación para este ejercicio: hacé una tabla de valores y graficá aproximadamente la función para luego evaluar qué pasa para $y=-3$.***
Ahora bien, otra forma un poco más rebuscada, sería reemplazar el -3 como valor de la función y ver si corresponde a una $x$ perteneciente al dominio de la función:
Es decir, planteamos que $f(x)= -3$ y despejamos $x$:
$\frac{5x}{x^2-4} = -3$
$ 5x= -3(x^2-4)$
$5x = -3x^2+12$
$3x^2 + 5x -12= 0$
Uso la fórmula resolvente de cuadráticas (Baskahara), donde $a=1, b=15, c=-4$, y obtenemos:
$x_1= \frac{4}{3} \approx 1,333...$
$x_2= -3$
Esos dos valores de $x$ están dentro del dominio de la función. Es decir, están dentro de $(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)$.
Conclusión: $-3$ pertenece a la imagen de la función.
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