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Matemática 51
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la recta real.
i) Encontrar el conjunto solución de la desigualdad: $\{x \in \mathbb{R} / 4 - \frac{8}{x-1} < 0\}$
i) Encontrar el conjunto solución de la desigualdad: $\{x \in \mathbb{R} / 4 - \frac{8}{x-1} < 0\}$
Respuesta
Reducimos la expresión a una sola fracción
$4-\frac{8}{x-1}<0$
$\frac{4\left(x-1\right)-8}{x-1}<0$ $\frac{4x-4-8}{x-1}<0$ $\frac{4x-12}{x-1}<0$
Tal como se explica en el video de inecuaciones, al tener una división cuyo resultado es menor a cero ( $<0$ ), la única posibilidad para que ocurra esto es que tanto numerador como denominador tengan el diferente signo. De esta forma podemos platear dos casos:
Caso 1:
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$4-\frac{8}{x-1}<0$
$\frac{4\left(x-1\right)-8}{x-1}<0$ $\frac{4x-4-8}{x-1}<0$ $\frac{4x-12}{x-1}<0$
Tal como se explica en el video de inecuaciones, al tener una división cuyo resultado es menor a cero ( $<0$ ), la única posibilidad para que ocurra esto es que tanto numerador como denominador tengan el diferente signo. De esta forma podemos platear dos casos:
Caso 1:
$4x-12<0$ y $x-1>0$
$4x<12$ y $x>1$
$x<\frac{12}{4}
$x<3$ y $x>1$
Caso 2:
$4x-12>0$ y $x-1<0$
$4x>12$ y $x<1$
$x>\frac{12}{4}$
$x>3$ y $x<1$
No existen los valores de x que cumplen estas condiciones. Por lo tanto el caso 2 no tiene solución. Es decir, $S_2 = \emptyset$.
Por lo tanto la solución total será la solución del caso 1: $S_1$
Solución: $x\in\left(1,3\right)$
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