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Álgebra A 62
2026
ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
4. Consideren $P(x)=x^{3}-(a+b)x^{2}+10bx-3a\in\mathbb{R}[X]$. Sabiendo que $P(3)=0$ y $P(-2)=-11$ determinen los valores de $a, b\in\mathbb{R}$.
Respuesta
Tenemos este polinomio -> $P(x)=x^{3}-(a+b)x^{2}+10bx-3a$
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Y sabemos que -> $P(3)=0$ y $P(-2)=-11$
Pidamos entonces que se cumplan ambas a ver a qué condiciones llegamos para $a$ y para $b$
1) $P(3)=0$
$P(3) = 3^3 - (a+b) \cdot 3^2 + 10b \cdot 3 - 3a = 0$
Reacomodamos...
$27 - 9a - 9b + 30b - 3a = 0$
$27 - 12a + 21b = 0$
$-12a + 21b = -27$
Acá tenemos una primera ecuación que nos relaciona $a$ y $b$
Paso optativo -> Fijate que si del lado izquierdo sacás factor común $3$ y lo pasas dividiendo para el otro lado, esta ecuación también la podés escribir así:
$3 \cdot (-4a +7b) = -27$
$-4a + 7b = -9$
Si usas esta o la anterior es exactamente lo mismo ;)
2) $P(-2)=-11$
$P(-2) = (-2)^3 - (a+b)(-2)^2 + 10b(-2) - 3a = -11$
$-8 - 4a - 4b - 20b - 3a = -11$
$-7a - 24b = -3$
Tenemos acá otra ecuación que nos relaciona $a$ y $b$, que si querés también la podés reescribir así (optativo)
$7a + 24b = 3$
Fijate que, planteando las dos condiciones, llegamos a dos ecuaciones con dos incógnitas, $a$ y $b$.
Resolviendo el sistema llegamos a que -> $a = \frac{237}{145}$ y $b = -\frac{51}{145}$
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