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Lo primero que voy a hacer acá son las distributivas del lado derecho y me queda...
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Álgebra A 62
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
3. Hallen $a, b, c\in\mathbb{R}$ tales que $x^{2}+4x+1=ax^{2}+bx+c(x+1)(x+2)$.
Respuesta
Queremos encontrar $a$, $b$ y $c$ para que se cumpla la igualdad entre estos dos polinomios:
$x^{2}+4x+1=ax^{2}+bx+c(x+1)(x+2)$
Cálculo auxiliar:
$c(x+1)(x+2) = c(x^2+2x+x+2) = c(x^2+3x+2) = cx^2+3cx+2c$
Ahora si, reemplazo eso en la expresión:
$x^{2}+4x+1 = ax^{2}+bx+cx^2+3cx+2c$
Del lado derecho, "junto" todo lo que tiene $x^2$, lo que tiene $x$ y los "números sueltos"
$x^{2}+4x+1 = (a+c)x^{2}+(b+3c)x+2c$
Para que estos dos polinomios sean iguales, se tiene que cumplir que...
$1 = a+c$ (igualamos coeficientes de $x^2$)
$4 = b+3c$ (igualamos coeficientes de $x$)
$1 = 2c$ (igualamos términos independientes)
Tenemos un sistemita de tres ecuaciones con tres incógnitas, fijate que de la tercera ecuación ya obtenés $c$, y reemplazando en la primera y en la segunda obtenés $a$ y $b$ -> Haciendo esas cuentas llegamos a estos resultados:
$a = \frac{1}{2}$
$b = \frac{5}{2}$
$c = \frac{1}{2}$
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