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Álgebra A 62
2026
ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
3.
Dar la forma binómica de todos los números complejos $z$ que satisfacen
a) $\bar{z}(z+1)=11+3 i$
a) $\bar{z}(z+1)=11+3 i$
Respuesta
Atenti ahora cómo vamos a resolver esta ecuación:
Reportar problema
$\bar{z}(z+1)=11+3 i$
Como el $z$ que estamos buscando es de la forma $z = a+bi$, vamos a sustituir esto en la ecuación
$(a-bi)((a+bi)+1)=11+3 i$
$(a-bi)(a+bi+1)=11+3 i$
Ahora hacemos distributiva del lado izquierdo...
$a^2+a + abi - abi - bi - b^2i^2 = 11+3 i$
Como $i^2 = -1$, y además tenemos $+abi$ y $-abi$, que se me cancelan, me queda...
$a^2+a + b^2 - bi = 11+3 i$
$a^2+a + b^2 - bi - 11 -3 i = 0$
Ahora agrupamos parte real y parte imaginaria del lado izquierdo...
$(a^2+a+b^2-11) + (-b-3)i = 0$
Para que un número complejo sea igual a cero, tanto su parte real como su parte imaginaria deben ser cero, así que nos queda este sistemita de dos ecuaciones con dos incógnitas, $a$ y $b$
$\begin{cases} a^2+a+b^2-11 = 0 \\ -b-3 = 0 \end{cases}$
De la segunda ecuación obtenemos que $b = -3$, y reemplazando ese resultado en la primera nos queda...
$a^2+a-2 = 0$
Tenemos una cuadrática igualada a cero, aplicando la resolvente obtenemos las dos soluciones para $a$ -> $a = 1$ y $a = -2$
Por lo tanto, hay dos números complejos $z = a +bi$ que son solución de esta ecuación:
Solución 1 -> Con $a = 1$ y $b = -3$ -> $z_1 = 1 -3i$
Solución 2 -> Con $a = -2$ y $b = -3$ -> $z_2 = -2-3i$
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