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Álgebra A 62

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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA

Unidad 5

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8. Determinar todos los valores de $a,b\in\mathbb{R}$ para los cuales $(2,0,-1)$ es la única solución del sistema \[ \left\{\begin{array}{r} 2x-ay+2z=2\\ x+y-bz=3\\ y-z=1 \end{array}\right. \]

Respuesta

Atenti con este -> Nosotros queremos que el $(2,0,-1)$ sea solución del sistema y además sea única. Es decir, nuestro sistema tiene que ser un SCD y el $(2,0,-1)$ tiene que ser su solución. 

Te propongo entonces que arranquemos pidiendo que el $(2,0,-1)$ sea solución (o sea, verifique todas las ecuaciones) a ver si llegamos a alguna condición para $a$ o para $b$. 

Sustituimos $x=2$, $y=0$, $z=-1$ en cada ecuación del sistema...

Primera ecuación -> $2x-ay+2z=2$

$4 - 0 - 2 = 2$

$2 = 2$ ✔️ 

Esta ecuación se cumple sin importar el valor de $a$

Segunda ecuación -> $x+y-bz=3$

$2 + b = 3$ $b = 1$

Apaaaa, esto vale oro para nosotros. Nos acabamos de dar cuenta que para que el $(2,0,-1)$ sea solución (y cumpla la segunda ecuación), $b = 1$. 

Tercera ecuación -> $y-z=1$

Esta ecuación se cumple sin importar el valor de $a$ o de $b$. 

Muy bien, ya sabemos que para que $(2,0,-1)$ sea solución, $b = 1$. Ahora veamos sí pidiendo que esa solución sea única (o sea, que el sistema sea un SCD) llegamos a alguna condición para $a$

Con $b = 1$ la matriz ampliada asociada al sistema nos quedaría así:

$\begin{pmatrix} 2 & -a & 2 & | & 2 \\ 1 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \end{pmatrix}$

$F_1 \leftrightarrow F_2$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 3 \\ 2 & -a & 2 & | & 2 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \end{pmatrix}$

$F_2 - 2F_1 \Rightarrow F_2$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & -a-2 & 4 & | & -4 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \end{pmatrix}$

$F_2 \leftrightarrow F_3$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & -a-2 & 4 & | & -4 \end{pmatrix}$

$F_3 - (-a-2)F_2 \Rightarrow F_3$

¿Se entiende por qué primero preferí intercambiar Fila 2 y Fila 3 y recién ahí hice la operación? Fijate que con esta última operación que hice estoy multiplicando por $(-a-2)$ a la Fila 2, que no es la fila que estoy modificando, así que esta operación está 100% permitida, aún sí $-a-2$ fuera cero. 

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 2-a & | & a-2 \end{pmatrix}$

Ahora, para que este sistema sea un SCD, no tenemos que tener ceros en la diagonal -> Es decir $2-a \neq 0$, que se cumple si $a \neq 2$. 

Ennnntonces, recapitualando, para que $(2,0,-1)$ sea la única solución del sistema, se tiene que cumplir que...
-> $b=1$ (para que sea solución)
-> $a \neq 2$ (para que además sea única)

Por lo tanto, los valores de $a$ y $b$ para los cuales $(2,0,-1)$ es la única solución del sistema son: $a \in \mathbb{R} - \{ 2 \}$ y $b = 1$.
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Avatar Alexia hace 5 días
Este es el último que hago hoy y también me perdí un poco en el razonamiento pero me gustaría preguntar primero si hay alguna forma de identificar que convenía primero reemplazar la solución en el sistema y después escalonar y no al revés. Yo venia media embalada del 7 pasé directo a la matriz y ahí llegue acá porque ví que ví que no iba por ahí. No sé si es práctica prueba y error o hay algun otro tip.

 Y después al final nuevamente me pasa que me quedan ideas sueltas, en este caso entiendo que para que sea SCD y tenga única solución quiero a distinto de 2 pero se me ocurre que podría ser que  sea SCD y aún así la solución no fuera la que buscamos sino otra, esta duda se despeja solo volviendo al sistema y reemplazando a y b y listo, ya puedo garantizar que existe única solución y además que es la que me piden? Hay algo que no me cierra en esta parte, gracias de nuevo!
Avatar Flor Profesor hace 4 días
@Alexia Holi por acá! O sea, vos cuando arrancas identificas que querés que se cumplan dos cosas simultaneamente -> que $(2,0,-1)$ sea solución y además sea la única solución de este sistema, o sea, sea un SCD. Yo acá elegi ese orden pero tranquilamente podrias haberlo hecho en el orden contrario, o sea, pedir primero que sea un SCD (y ahi llegabas a una relación entre a y b) y después forzar a que esa solución sea exactamente (2,0,-1)

Viendo el ejercicio, con a y b metidos, si arrancabas primero pidiendo que sea un SCD creo que te va a quedar más fácil calcular el determinante y pedir que sea distinto de cero (de hecho creo que con el camino que yo hice también iba a ser un poco menos cuentoso con el determinante, no me di cuenta y lo estaba pensando ahora) - Después cuando pedis que (2,0,-1) sea esa solución volves a llegar a b = 1, y lo reemplazas en la condición que obtuviste al principio entre a y b para que sea un SCD, y te da lo mismo 

Avisame si se entiende mejorrr
Avatar Alexia hace 3 días
@Flor Claro yo arranque primero pasando todo a la matriz pero me pareció medio complicado de escalonar con esas dos incógnitas ahí pero entiendo que era un camino posible entonces, puede ser? voy a ver si puedo hacer este devuelta así lo entiendo (aunque estoy media atrasada) muchas gracias!!
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