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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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10. En cada una de las siguientes series, encuentre todos los valores de $x \in \mathbb{R}$ para los cuales es convergente. Indique para qué valores la convergencia es absoluta y para qué valores la convergencia es condicional.
e) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2^{n}}{n}+\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) x^{n}$

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Avatar Agustina 1 de julio 02:44
Hola Flor buenas noches, gracias desde ya por tu ayuda. Estoy atenta a cómo se resolvió el numerador de este ejercicio que necesitamos hacer un calculo auxiliar de Cauchy. Creo que estoy en una situación similar en este ejercicio modelo de parcial, en el que me piden determinar para cuáles valores de x la serie es convergente. Y el piso según Cauchy entiendo que diverge ya que el límite me dió 2. Debería terminar acá el ejercicio? O debería continuar como que el límite de esa An considerando ambos pisos es 1/2 según Cauchy y por eso converge? 2025-07-01%2002:44:53_5785853.png
Avatar Flor Profesor 1 de julio 13:25
@Agustina Hola Agus! No sé si después seguiste por ese camino, pero te conviene mucho más ver los videos de serie de potencias (el primero donde voy explicando los pasos a seguir y después los siguientes en los que seguimos practicando), porque todos tienen más o menos la misma lógica 

Vos acá llegaste a que el resultado del cálculo auxiliar es $2$, así que el resultado del límite seria

$\frac{1}{2} |x-1|$

Para que la serie sea convergente necesitamos que el resultado del límite sea menor que 1

$\frac{1}{2} |x-1| < 1$

Despejamos

$|x-1| < 2$ 

Y acá seguimos abriendo el módulo y despejando para qué valores de $x$ entonces la serie converge... y después queda evaluar en los límites de ese intervalo (donde Cauchy no nos ayuda)

Pero repito, van a quedar mucho más claro estos pasos viendo los videos, que los armé pensando en hacer la explicación de cero (a dif de este resuelto por ej) 
Avatar Agustina 1 de julio 13:31
@Flor hola Flor, de hecho los ví y llegué a resolver hasta el 10 f completos, pero se me hizo laguna mental xq me preguntaba si tengo que analizar 2 =L como resultado del Cauchy (igual que en ese calculo auxiliar del 10.e), o si sencillamente Cauchy entero es 1/2 por el numerador y denominador de toda la expresión, por tu respuesta entiendo que es la 2da opción así que avanzo, muchas gracias 
Avatar Benjamin 29 de junio 17:41
Hola flor que tal todo bien? Una consulta, cuando aplicas cauchy y distribuis la raiz enecima, esto es lo que habria que hacer/justificar?2024-06-29%2017:41:29_4408447.png
Avatar Flor Profesor 30 de junio 12:06
@Benjamin Hola Benja! Nono, ojo como distribuiste ese denominador. Acá te lo escribí en la tablet, avisame porfa si queda claro:

2024-06-30%2012:06:35_3960738.png
Avatar Benjamin 30 de junio 13:06
Ahhh claro, jaja, ahora si! gracias!
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