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@Agustina por que omitimos el 3 en el numerador para sospechar que la serie actua como 1/(n^2) y solo se considera en el paso de comparacion directa?
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@Agustina Hola Agus! La condición necesaria de convergencia está siempre presente... siempre siempre que miras una serie lo pensás, lo que pasa es que no siempre lo terminás escribiendo explicitamente
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@Maggui Hola Maggi! Porque fijate que, nosotros cuando nos imaginamos que va a pasar cuando $n$ sea muuuuy grande, pensamos en "quién manda"... en el denominador $2^n$ le recontra gana a cualquier polinomio, como $n^2$. Acordate de sucesiones que, tener la $n$ en el exponente le gana a los polinomios (o sea, "es el que manda") y a su vez el que le ganaba a todos era $n!$. Entonces, cuando $n$ sea muy grande, ese $n^2$ va a ser despreciable ahí sumando, asi que va a ser casi como tener únicamente $2^n$.
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@Leon Hola León! Sisi, con el criterio del paso al límite también lo podés justificar, sale por cualquiera de los dos :)
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4.
Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
h) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin^{3}(n)}{2^{n}+n^{2}}$
h) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin^{3}(n)}{2^{n}+n^{2}}$
Respuesta
En este caso, mirando la expresión de nuestra serie:
Reportar problema
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin^{3}(n)}{2^{n}+n^{2}}$
podemos sospechar que, cuando $n$ sea muuuy grande, se va a comportar igual que
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n$
que sabemos que converge por ser una serie geométrica con $r < 1$
En este caso podemos usar el criterio de comparación directa, que también vimos en la segunda clase de Series positivas. En este caso fijate que:
$ 2 + \sin^3(n) \leq 3 $ (porque acordate que el seno oscila entre $1$ y $-1$)
y además
$ 2^n + n^2 \geq 2^n $
Entonces, podemos afirmar que:
$ \frac{2 + \sin^3(n)}{2^n + n^2} \leq \frac{3}{2^n} $
Y la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2^n}$, que también la podemos escribir como $3 \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n$, sabemos que converge. Entonces, por el criterio de comparación directa podemos afirmar que nuestra serie también converge.
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Comentarios
Agustina
29 de junio 3:23
Hola Flor, no hace falta evaluar la condicion de necesidad de convergencia? En cuales casos si?
Agustina
29 de junio 3:31
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Flor
PROFE
29 de junio 11:50
Por ejemplo, en este caso tenemos una serie geométrica con $r < 1$, que ya sabemos que convergen... bueno, obviamente la condición necesaria se cumple, ese límite da cero, pero no lo escribi explicitamente, ya nos dimos cuenta que converge por ser una serie geométrica con $r < 1$
Pero en general la condición necesaria siempre siempre está ahi presente y se tiene que cumplir si la serie converge (aunque acordate que no te asegura convergencia, puede ser que se cumpla y que la serie aún así diverge)
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Maggui
24 de junio 18:34
hola Flor, una pregunta, por qué comparas 2^n+ n^2 con 2^n? o sea por qué se compara con 2^n y no otro numero?
Flor
PROFE
25 de junio 9:26
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Leon
20 de junio 15:04
buenas, una pregunta, no se podria usar el criterio de paso al limite de una? sin tener que usar el de comparación directa antes
Flor
PROFE
21 de junio 9:37
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