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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
d) $f(x)=x^{3}-5 x^{2}+6 x$, eje $x$
d) $f(x)=x^{3}-5 x^{2}+6 x$, eje $x$
Respuesta
En este caso tenemos dos funciones involucradas:
Reportar problema
$f(x)=x^{3}-5 x^{2}+6 x$
$g(x) = 0$ (el eje $x$)
1) Buscamos los puntos de intersección entre \( f \) y \( g \)
$ x^3 - 5x^2 + 6x = 0 $
Sacamos factor común $x$
$ x(x^2 - 5x + 6) = 0 $
Igualando cada factor a cero, llegamos a que las soluciones de esta ecuación y, por lo tanto, los puntos de intersección son \( x = 0 \), \( x = 2 \) y \( x = 3 \).
2) Techo y piso
En el intervalo $(0,2)$ -> $f$ es techo y el eje $x$ es piso
En el intervalo $(2,3)$ -> El eje $x$ es techo y $f$ es piso
3) Planteamos el integral del área
$ A = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} -f(x) \, dx $
Integral 1
$ \int_{0}^{2} (x^3 - 5x^2 + 6x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{5x^3}{3} + 3x^2 \Big|_{0}^{2} = \frac{8}{3}$
Integral 2
$ \int_{2}^{3} -(x^3 - 5x^2 + 6x) \, dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} - 3x^2 \Big|_{2}^{3} = \frac{5}{12}$
Juntamos ambos resultados y ya tenemos el área total:
$ A = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} -f(x) \, dx = \frac{8}{3} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12}$
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