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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
9.
Utilizando los métodos de integración vistos hasta ahora en combinación con identidades trigonométricas, calcule
b) $\int \operatorname{sen}^{3}(t) d t$
b) $\int \operatorname{sen}^{3}(t) d t$
Respuesta
Para calcular la integral $\int \sin^3(t) dt$, lo primerísimo que vamos a identificar es que, usando la identidad trigonométrica, podemos reescribir nuestra integral así:
$\int \sin^3(t) dt = \int \sin(t) \sin^2(t) dt = \int \sin(t) (1 - \cos^2(t)) dt$
Si hacemos ahora la distributiva, obtenemos dos integrales:
$\int \sin(t) (1 - \cos^2(t)) dt = \int \sin(t) dt - \int \sin(t) \cos^2(t) dt$
Resolvemos la primera integral que es fácil, de tabla:
$\int \sin(t) dt = -\cos(t)$
La segunda integral, $\int \sin(t) \cos^2(t) dt$, la vamos a resolver por sustitución. Tomamos
$u = \cos(t)$
$du = -\sin(t) dt$
Reescribimos la integral en términos de $u$:
$\int \sin(t) \cos^2(t) dt = -\int u^2 du$
Calculamos la integral:
$-\int u^2 du = -\frac{u^3}{3} = -\frac{\cos^3(t)}{3}$
Ahora combinamos los resultados:
$\int \sin^3(t) dt = -\cos(t) - \left(-\frac{\cos^3(t)}{3}\right)$
Reacomodamos y agregamos la constante, y listo ;)
$\int \sin^3(t) dt = -\cos(t) + \frac{\cos^3(t)}{3} + C$
No fue tan grave al final, no?
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