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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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9. Utilizando los métodos de integración vistos hasta ahora en combinación con identidades trigonométricas, calcule
a) $\int \cos ^{2}(x) d x$

Respuesta

Esta integral la resolvimos en la clase "Integrales por partes que salen usando algún truquito". Bueno, en realidad vimos la de $\sin^2(x)$, pero te había comentado que los pasos y razonamientos para resolver por partes la de $\cos^2(x)$ era similar. Así que te recomiendo fuertemente que, si todavía no lo hiciste, mires primero esa clase! Ahora si, arrancamos:

Primero escribimos: $\int \cos^{2}(x) dx = \int \cos(x) \cdot \cos(x) dx$ Vamos a resolverla aplicando la fórmula de partes, tomamos: $ f' = \cos(x) \rightarrow f = \sin(x) $
$ g = \cos(x) \rightarrow g' = -\sin(x) $ Reemplazamos estas funciones en nuestra fórmula: $ \int \cos(x) \cdot \cos(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) - \int (\sin(x)) \cdot (-\sin(x)) dx $ $ \int \cos(x) \cdot \cos(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + \int \sin^{2}(x) dx $ Ahora reescribimos $\sin^2(x)$ como $1 - \cos^2(x)$ $\int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + \int 1 - \cos^{2}(x) dx $ Separamos la integral $\int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + \int 1 dx - \int \cos^{2}(x) dx $ $\int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + x - \int \cos^{2}(x) dx $ Pasamos la integral de la derecha para el otro lado $2 \cdot \int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + x $ Pasamos el $2$ dividiendo y ya estamos: $\int \cos^{2}(x) dx = \frac{1}{2} \cdot [\sin(x) \cdot \cos(x) + x ] + C$
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Avatar Valentino 14 de junio 14:50
Hola flor, tengo otra preg, cuando haces la intregral de 1, porq no queda x+C?

Avatar Flor Profesor 14 de junio 19:47
@Valentino Se podría haber hecho así también, es lo mismo :) Fijate que yo la agregué directamente al final antes de reportar la respuesta, pero también podrías haber hecho esto:

$\int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + x + C - \int \cos^{2}(x) dx $

$\,$ $2 \cdot \int \cos^{2}(x) dx = \sin(x) \cdot \cos(x) + x + C $ $\,$
$\int \cos^{2}(x) dx = \frac{1}{2} \cdot [\sin(x) \cdot \cos(x) + x + C]$

Y si querés podés hacer la distributiva y te queda:

$\,$

$\int \cos^{2}(x) dx = \frac{1}{2} \cdot [\sin(x) \cdot \cos(x) + x] + \frac{1}{2} \cdot C$

$\,$

Con lo cual te termina quedando también sumando una constante, que en este caso sería $\frac{1}{2} \cdot C$ (cambia únicamente el nombre que le estamos poniendo, pero sigue siendo una constante sumando)
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