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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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7. [Sustitución trigonométrica] Asumiendo la validez de

I) $\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan (x)+C$

II) $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen}(x)+C$

III) $\int \frac{1}{1-x^{2}} d x=\operatorname{arctanh}(x)+C$

IV) $\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\operatorname{arcsenh}(x)+C$

utilice el método de sustitución para calcular las siguientes integrales:
b) $\int \frac{d x}{\sqrt{3-4 x^{2}}}$

Respuesta

Para resolver esta integral vamos a usar las mismas ideas que en el item anterior. Fijate que nuestra integral es

$\int \frac{d x}{\sqrt{3-4 x^{2}}}$

y tiene un aire (ponele) a esta otra del enunciado:

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx=\operatorname{arcsen}(x)+C$

Vamos entonces a reescribir nuestra integral para que resulte obvio qué sustitución tomar y que nos aparezca la integral dato del enunciado, que sabemos que su primitiva es $\operatorname{arcsen}(x)$

Si sacamos factor común $3$ como antes, después distribuimos la raíz y reescribimos lo que necesitamos tener elevado al cuadrado, nos queda:

$\int \frac{1}{\sqrt{3-4x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{1-\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)^2}} \, dx$

Buenisimoooo, ahora tenemos algo de la forma $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$, donde $u = \frac{2x}{\sqrt{3}}$. Entonces vamos a tomar esa sustitución
$u = \frac{2x}{\sqrt{3}}$ $du = \frac{2}{\sqrt{3}} dx \Rightarrow dx = \frac{\sqrt{3}}{2} du$

Escribimos ahora nuestra integral en términos de $u$

$\int \frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{1-\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)^2}} \, dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \, \frac{\sqrt{3}}{2}du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \, du = \frac{1}{2} \arcsin(u) + C$

Y ahora volvemos a la variable $x$ y el resultado que obtenemos es....

$\int \frac{dx}{\sqrt{3-4x^2}} = \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right) + C$
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Avatar Danilo 17 de junio 09:09
Hola Flor, como estas? es necesario reescribir 4xal cuadrado como un 2x/raiz de 3 al cuadrado?a esto me refiero, no podria hacer directamente u=4x(cuadrado/raiz de 3?
Avatar Danilo 17 de junio 09:09
Avatar Danilo 17 de junio 09:10
no me deja subir la foto, pero creo que se entiende lo que estoy preguntando
Avatar Delfina 12 de junio 11:44
Hola flor, a mí la derivada de 2x/ raíz de 3 me da distinto a vos 
A mí la derivada me dio 2por raíz de 3 /3
Avatar Flor Profesor 12 de junio 18:16
@Delfina Hola Delfi! Está bien también, fijate que si ponés en la calculadora: 

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ 

es el mismo número que

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

;)

Eso es por esto: Si vos partis de $\frac{2}{\sqrt{3}}$  y multiplicas y dividis por $\sqrt{3}$ te queda:

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$
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