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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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8. Encuentre en cada caso, una función $G(x)$ que satisface
c) $G'''(x)=x+\sin(x), G''(0)=G'(0)=G(0)=5$

Respuesta

Bueno, vamos a seguir los mismos pasos que venimos haciendo en los items anteriores. Arrancamos integrando $G'''(x)$ para obtener $G''(x)$

$G''(x) = \int G'''(x) \, dx = \int (x + \sin(x)) \, dx = \frac{x^2}{2} -\cos(x) + C_1$

Aplicamos la condición inicial $G''(0) = 5$ para encontrar $C_1$. $G''(0) = 0 - 1 + C_1 = 5$ $C_1 = 6$

Entonces $G''(x)$ es: $G''(x) = \frac{x^2}{2} - \cos(x) + 6$

Ahora integramos $G''(x)$ para obtener $G'(x)$. $G'(x) = \int G''(x) \, dx = \int \left(\frac{x^2}{2} - \cos(x) + 6\right) dx = \frac{x^3}{6} - \sin(x) + 6x + C_2$

Aplicamos la condición $G'(0) = 5$ para hallar $C_2$. $G'(0) = C_2 = 5$

Por lo tanto, la función $G'(x)$ nos queda: $G'(x) = \frac{x^3}{6} - \sin(x) + 6x + 5$

Falta pocooo, integramos $G'(x)$ para obtener $G(x)$. $G(x) = \int G'(x) \, dx = \int \left(\frac{x^3}{6} - \sin(x) + 6x + 5\right) dx = \frac{x^4}{24} + \cos(x) + 3x^2 + 5x + C_3$

Ahora usamos que $G(0) = 5$ para encontrar $C_3$. $G(0) = 1 + C_3 = 5$ $C_3 = 4$

Por lo tanto, la función $G$ que estábamos buscando es:

$G(x) = \frac{x^4}{24} + \cos(x) + 3x^2 + 5x + 4$
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Comentarios
matias
23 de junio 17:21
Hola flor como estas? Me cuesta mucho darme cuenta como es la integral de x al cuadrado sobre 2. No se de que forma relacionarlo. Gracias!
0 Responder
Flor
PROFE
24 de junio 11:13
@matias Hola Mati! Lo más importante es que primero te des cuenta que a $\frac{x^2}{2}$ también lo podés escribir así: $\frac{1}{2} \cdot x^2$

Entonces, cuando queremos hacer esa integral, tenemos...

$\int \frac{1}{2} \cdot x^2 \, dx$

Ese $1/2$ puede "salir afuera de la integral", porque es simplemente una constante multiplicanod

$\frac{1}{2} \int \cdot x^2 \, dx$

Y ahi hacés la integral de $x^2$ por tabla... y te queda

$\frac{1}{2} \int \cdot x^2 \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^2}{6}$

Se ve mejor ahi? 
0 Responder
tomas
8 de junio 17:50
buenas, de donde sale el 1 del g(0), gracias!
0 Responder
Flor
PROFE
9 de junio 8:37
@tomas Hola Tomás! Cuando hacemos $G(0)$ para encontrar $C_3$, ese $1$ sale de hacer $\cos(0) = 1$ :)
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