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@Caro Jajaja, nono tranqui con esto... "Probar" o "Demostrar" algo para los de matemática es mucho más formal que lo escribiste vos y yo juntas jaja, pero eso no lo evalúan acá en Análisis, así que relax... lo mío tampoco es una demostración formal para nada, la idea es que lo veas conceptualmente
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4. Compruebe que el polinomio de Taylor de orden $n$ de la función $f(x)=e^{x}$ es $p(x)=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots+\frac{x^{n}}{n !}$.
Respuesta
En el Ejercicio 3 (item g) ya nos habíamos dado cuenta que para $f(x) = e^x$, todas sus derivadas evaluadas en $x=0$ nos iban a dar $1$. En su momento calculamos el polinomio de Taylor de orden $5$ y nos había quedado así:
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$ p(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} $
Ahora, te das cuenta que si quisiéramos agregarle un orden más, por ejemplo, hasta el $6$, simplemente agregaría esto:
$ p(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} +\frac{x^6}{6!} $
(porque ya sé que $f^{(6)}(0) = 1$)
En particular, si me quiero ir hasta el orden $n$ (donde $n$ es el natural que se nos ocurra), la forma que va a tener este polinomio es
$p(x)=1+x +\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots+\frac{x^{n}}{n !}$
como nos dice el enunciado :)
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Comentarios
Caro
1 de junio 11:08
Holi Flor cómo estás? Te hago una consulta. No sé si sea muy importante este ejercicio, pero me acuerdo que lo vimos ayer en clase y no entendí muy bien la explicación de la profe ):
No sé si esta sería una forma válida de justificar por qué la p(x) nos da lo que dicta el enunciado
Flor
PROFE
1 de junio 20:06
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