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Matemática 51

2025 ROSSOMANDO

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA ROSSOMANDO

Práctica 4: Funciones exponenciales y logarítmicas

1. Graficar, hallar conjunto de positividad, negatividad, imagen y asintotas.
c) $f(x)=2^{x}$

Respuesta

Sabemos que el dominio de las funciones exponenciales son todos los reales. Es importante que lo recuerdes.


Hallemos el conjunto de ceros:
$2^x = 0$
$\log(2^x) = \log(0)$

Aplicamos la propiedad del ln:

$x \log (2) = \log 0$ -> ¡absurdo! Esto es absurdo, pues el logaritmo de cero no existe. 

• $C^{0} = \emptyset$



Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad:  

Conociendo el conjunto de ceros y el dominio de la función podemos usar Bolzano. 

Como $C^{0} = \emptyset$, eso significa que la funcion no cruza al eje $x$, es decir, es totalmente positiva o totalmente negativa.
Tomamos un valor cualquier y evaluamos la función:
$ f(0)=2^{0}=1 $
Viendo esto, podemos decir que la funcion es totalmente positiva, o sea: • $C^{+} =  \Re$ 

• $C^{-} = \emptyset$



 
Hallemos la imagen, calculando su función inversa y calculando su dominio:  

$y=2^x$, en este caso no tenemos base $e$, sino que tenemos base $2$, por lo tanto vamos a plantear el logaritmo en base 2 de ambos lados:

$y=2^x$
  $\log_2 (y) = \log_2 (2^x)$ $\log_2 (y) = x \log_2 (2)$ $\log_2 (y) = x$

cambio las variables:

$\log_2 (x) = y = f^{-1}(x)$
$f^{-1}(x) = \log_2 (x)$
Calculamos su dominio:
$x>0$


$Domf^{-1} = (0 ;+\infty)$


• $Imf =(0 ;+\infty)$
 


Asíntotas verticales: 

No hay, ya que no hay valores restringidos del dominio.
• No hay AV

Asintotas Horizontales:


$\lim _{x \rightarrow \infty} 2^{x}=\infty$  


Vemos que por el lado de infinito positivo no hay asintota. Sin embargo, por el lado de infinito negativo, tenemos asintota horizontal: $ \lim _{x \rightarrow-\infty} 2^{x}=2^{-\infty}=\frac{1}{2^{\infty}}=\frac{1}{\infty}=0 $
 • Hay AH en $y=0$ por izquierda
 

La gráfica nos quedaría así:


2024-05-08%2012:57:20_9775417.png
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ExaComunidad
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Irina
11 de febrero 23:09
Hola profe! Una pregunta, podrías desarrollar más como sacaste el conjunto de ceros? Porque comparando el resultado de la guía de la cátedra son distintos
Julieta
PROFE
14 de febrero 10:29
@Irina Hola Iri!! Ahí está!
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