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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

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3.
e) Derivar las siguientes funciones combinando reglas:
1) $f(x)=(\operatorname{tg}(5 x))^{3}$
2) $f(x)=x e^{x^{2}+3 x}$
3) $f(x)=x \operatorname{sen}^{2}(x)-3 \operatorname{sen}(7 x)$
4) $f(x)=\frac{\cos (3 x)}{\sqrt{x^{4}+5}}$

Respuesta

1) $f(x)=(\operatorname{tg}(5 x))^{3}$

Acordate que $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, así que en realidad $f$ la podríamos escribir así:

$f(x) = (\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})^3 $

Entonces, derivo primero lo de más afuera, es decir, como si tuviera $x^3$ y multiplico por la derivada "de lo de adentro":

$f'(x) = 3 \cdot (\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})^2  \cdot (\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})'$

Ahora en un cálculo auxiliar hacemos la derivada de $\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)}$, acá usamos regla del cociente (y, además, cuando tengamos que hacer la derivada de cada uno, atenti regla de la cadena) La derivada nos queda así:

$(\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})' = \frac{\cos(5x) \cdot 5 \cdot \cos(5x) - \sin(5x) \cdot (-\sin(5x)) \cdot 5 }{(\cos(5x))^2} $

Clave reacomodar ahora, mirá que linda nos va a quedar:

$= \frac{5(\cos^2(5x) + \sin^2(5x))}{(\cos(5x))^2} = \frac{5}{(\cos(5x))^2}$

Listoooo, y ahora volvemos y reemplazamos:

$f'(x) = 3 \cdot (\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})^2  \cdot (\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})' $

$f'(x) = 3 \cdot (\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)})^2  \cdot \frac{5}{(\cos(5x))^2}$

2) $f(x)=x e^{x^{2}+3 x}$

Encaramos aplicando regla del producto y, atención, cuando nos toque hacer "el segundo derivado"... regla de la cadena 😉

\( f'(x) = 1 \cdot e^{x^2 + 3x} + x \cdot e^{x^2 + 3x} \cdot (2x + 3) \)

La derivada ya está lista, si querés la podemos reacomodar un poco sacando factor común la exponencial y haciendo ahí en el segundo término una distributiva:

\( f'(x) = e^{x^2 + 3x} \cdot (1 + 2x^2 + 3x) \)

3) $f(x)=x \operatorname{sen}^{2}(x)-3 \operatorname{sen}(7 x)$

Para derivar el primer sumando vamos a usar regla del producto y, atención, cuando nos toque derivar $\sin^2(x)$, regla de la cadena. Acordate que $\sin^2(x) = (\sin(x))^2$. En el segundo sumando tenemos el $3$, que simplemente es un número multiplicando, y derivamos $\sin(7x)$ con regla de la cadena. Nos queda:

\( f'(x) = 1 \cdot \sin^2(x) + x \cdot 2\sin(x)\cos(x) - 3 \cos(7x) \cdot 7 \)

\( f'(x) = \sin^2(x) + x \cdot 2\sin(x)\cos(x) - 21\cos(7x) \)

4) $f(x)=\frac{\cos (3 x)}{\sqrt{x^{4}+5}}$

Arrancamos con regla del cociente y atenti cuando nos toque derivar cada el primero o el segundo, regla de la cadena ;)

\( f'(x) = \frac{-3\sin(3x)\sqrt{x^4 + 5} - \cos(3x) \cdot \frac{4x^3}{2 \sqrt{x^4 + 5}}}{(\sqrt{x^4 + 5})^2} \)

\( f'(x) = \frac{-3\sin(3x)\sqrt{x^4 + 5} - \cos(3x)\frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 5}}}{x^4 + 5} \)
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Avatar Lucia 25 de mayo 13:03
hola flor, en el ultimo ejercicio cuando hiciste la derivada de la raiz, yo puse un 1 en vez de un 4x elevado al cubo, que regla usaste?
Avatar Flor Profesor 26 de mayo 14:02
@Lucia Hola Lucia! Eso es por regla de la cadena, acordate que tenés que multiplicar por la derivada de "lo de adentro", y la derivada de $x^4$ es $4x^3$ :)
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