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@Magdalena Sí, está! pero al integrarse queda como x^2/2:
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@Magdalena Hola! Simplemente separé la integral en 2 partes, para no hacer todo junto en un mismo renglón, así les mostraba bien cómo hacer la sustitución. Pero podés hacerlo todo junto.
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:
e) $\int_{1}^{4}\left(\frac{(\ln x)^{2}}{x}+x\right) dx$
e) $\int_{1}^{4}\left(\frac{(\ln x)^{2}}{x}+x\right) dx$
Respuesta
Primero integramos la función \(\frac{(\ln x)^{2}}{x} + x\).
Reportar problema
Para integrar \(\frac{(\ln x)^{2}}{x} + x\), integramos cada término por separado. Si vos querés lo haces todo junto en el mismo renglón.
-> La integral de \(\frac{(\ln x)^{2}}{x}\):
Para integrar \(\frac{(\ln x)^{2}}{x}\), usamos la sustitución \(u = \ln x\), entonces \(du = \frac{1}{x} dx\) o \(dx = x \, du\).
La integral se transforma en:
$
\int \frac{(\ln x)^2}{x} \, dx = \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{(\ln x)^3}{3}
$
Ahora integremos el segundo término:
-> La integral de \(x\):
$
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}
$
Entonces, la integral de \(\frac{(\ln x)^{2}}{x} + x\) es:
$
\int \left( \frac{(\ln x)^2}{x} + x \right) dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + \frac{x^2}{2}
$
Ahora aplicamos Barrow, porque no te olvides que queremos calcular la integral definida : $\int_{1}^{4} \left( \frac{(\ln x)^2}{x} + x \right) dx$
$
\int_{1}^{4} \left( \frac{(\ln x)^2}{x} + x \right) dx = \left[ \frac{(\ln x)^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4}
$
Evaluamos en los límites de integración:
$
\left[ \frac{(\ln x)^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{4^2}{2} \right) - \left( \frac{(\ln 1)^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right)
$
$
= \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{16}{2} \right) - \left( \frac{(\ln 1)^3}{3} + \frac{1}{2} \right)
$
$
= \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + 8 \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \right)
$
$
= \left( \frac{(\ln 4)^3}{3} + 8 \right) - \frac{1}{2}
$
$
= \frac{(\ln 4)^3}{3} + 8 - \frac{1}{2}
$
$
= \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{16}{2} - \frac{1}{2}
$
$
= \frac{(\ln 4)^3}{3} + \frac{15}{2}
$
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Comentarios
Magdalena
23 de junio 9:22
Holaa, y la X que estaba al principio, cuando las integraste no la pusiste mas?
Julieta
PROFE
24 de junio 12:26
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Magdalena
23 de junio 9:15
holaa, porque queda asi la integral de X? osea la X que esta sola, me perdi ahi
Julieta
PROFE
24 de junio 12:24
0
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