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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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5. Hallar la función $f$ tal que
b) $f'(x)=x \sqrt{3 x^{2}+9}$ y $f(3)=20$

Respuesta

Acá nos dan la derivada $f'$, así que tenemos que hallar la función $f$ integrando la expresión.


Vamos a integrar usando el método de sustitución:

$ u = 3x^2 + 9 $
$ \frac{du}{dx} = 6x $ $ du = 6x \, dx $

$ \frac{du}{6} = x \, dx $ Ahora sustituimos en la integral. La integral original es:

$ \int x \sqrt{3x^2 + 9} \, dx = \int \cancel{x}\sqrt{u} \cdot \frac{du}{6\cancel{x}} = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{6} $

$ = \frac{1}{6} \int \sqrt{u} \, du $
Ya podemos integrar: $ \int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C $ $ \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C $

$ = \frac{1}{9} u^{3/2} + C $
Sustituimos \( u \) de nuevo en términos de \( x \):

$ \frac{1}{9} (3x^2 + 9)^{3/2} + C $
Usamos el dato \( f(3) = 20 \) para obtener $C$:

$ f(3) = \frac{1}{9} (3(3)^2 + 9)^{3/2} + C = 20 $

$ f(3) = \frac{1}{9} (27 + 9)^{3/2} + C = 20 $

$ f(3) = \frac{1}{9} (36)^{3/2} + C = 20 $

$ f(3) = \frac{1}{9} (6^3) + C = 20 $

$ f(3) = \frac{1}{9} \cdot 216 + C = 20 $

$ f(3) = 24 + C = 20 $

$ C = 20 - 24 $

$ C = -4 $
Finalmente nos queda:

$ f(x) = \frac{1}{9} (3x^2 + 9)^{3/2} - 4 $
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Avatar Magdalena 22 de junio 16:28
hola, porque du paso multiplicando, me perdi

Avatar Julieta Profesor 24 de junio 12:05
@Magdalena Hola Magda, en qué parte? Me mandarías la imagen del momento porfa?
Avatar Delfi 22 de junio 11:25
Hola! Que pasa con la x que estaba adelante de la raíz en la expresión original?
Avatar Julieta Profesor 22 de junio 13:21
@Delfi Hola Delfi! Al sustituir se cancela esa $x$ del numerador con la $x$ que queda en el denominador cuando despejas $dx$:

$ \int x \sqrt{3x^2 + 9} \, dx = = \int \cancel{x}\sqrt{u} \cdot \frac{du}{6\cancel{x}} = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{6} $
Avatar Zoe 1 de julio 01:29
Que paso con el 2 en el 3/2? por que salta directamente a 6"3-al cubo-
Avatar Julieta Profesor 9 de julio 15:54
@Zoe Hola Zoe, ocurre que te queda $36^{3/2}= (\sqrt{36})^3$ = $6^3$
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