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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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12. Sea $f(x)=\frac{(5 x-k)^{2}}{x}, \operatorname{con} k \in \mathbb{R}$.
a) Hallar los valores de $k$ para los cuales $f$ tiene un punto crítico en $x=1$.

Respuesta

Ohhh un ejercicio donde nos dan una incógnita distinta de $x$ (en este caso $k$) y nos dan una condición que se tiene que cumplir.. Ya vimos esto desde la práctica 1, así que ya sabemos bien cómo resolverlo!! 


Para que $f(x)$ tenga un punto crítico en $x=1$, la primera derivada $f'(x)$ tiene que ser igual a cero cuando $x=1$. 


Primero, vamos a encontrar la primera derivada de $f(x)$.
$f(x) = \frac{(5x - k)^2}{x} = (5x - k)^2 \cdot x^{-1}$

Usamos la regla del producto y la regla de la cadena para derivar $f(x)$.

$f'(x) = (5x - k)^2 \cdot (x^{-1})' + x^{-1} \cdot ((5x - k)^2])'$

$f'(x) = (5x - k)^2 \cdot (-x^{-2}) + x^{-1} \cdot 10(5x - k)$

$f'(x) = -\frac{(5x - k)^2}{x^2} + \frac{10(5x - k)}{x}$



Ahora, para que $f'(1) = 0$, sustituimos $x = 1$ en la derivada:
$f'(1) = -\frac{(5(1) - k)^2}{1^2} + \frac{10(5(1) - k)}{1}$
$f'(1) = -(5 - k)^2 + 10(5 - k)$
$f'(1) = -25 + 10k - k^2 + 50 - 10k$
$f'(1) = -k^2 + 25$

Acordate que $f'(1) = 0$, etonces:

 
$-k^2 + 25 = 0$
$k^2 = 25$
$|k| = 5$

Descomponemos el módulo y nos queda:


$k = 5$   y   $k = -5$


Los valores de $k$ para los cuales $f$ tiene un punto crítico en $x=1$ son $k = 5$ y $k = -5$.

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Avatar Mallo 2 de noviembre 14:05
hola juli, tengo una duda yo lo hice con la regla de la division, pero no se si me quedo bien 2024-11-02%2014:05:12_5266220.png
Avatar Julieta Profesor 4 de noviembre 15:37
@Mallo Hola Mallo, qué prolijidad esa letra por favor!! Mirá, te doy un tip, cuando te pase algo así donde no sabés si lo que yo escribí es lo mismo que lo tuyo, podés hacer la cuenta en ambas tomando algún valor de x, por ej x=1. Lo reemplazás en tu función y en la mía y si te dan lo mismo lo hiciste bien, pues quiere decir que es la misma función. Otra forma es subiendo esta misma imagen a chatgpt y en el momento te dice si lo que hiciste está bien y dónde te equivocaste. Creo que es una herramienta super útil a su alcance y es gratuita. Te puede dar una gran mano. 

Y sí, el desarrollo de la derivada es correcto.
Avatar alisson 27 de octubre 13:16
Buenas tardes profe tengo una pregunta, se puede poner como 10x- K embes de 10(5x-k) ? o por regla se debe de poner como lo indico? 

Avatar Julieta Profesor 30 de octubre 16:15
@alisson Hola! Son dos cosas muy diferentes. 10(5x-k) sería lo mismo que 50x-k. Eso es porque haces la distributiva. Y ninguna de esas expresiones son iguales a 10x-k.
Avatar Benja 25 de junio 13:06
Hola Juli, no entiendo cómo al derivarlo queda así.

2024-06-25%2013:06:06_9139399.png
 ¿Por qué es que el 2 baja cómo 10???
Avatar Julieta Profesor 28 de junio 14:39
@Benja Hola Benja, hice la regla de la cadena. Así que la derivada de 5x-k es 5, por lo que multiplica al 2, dando como resultado el 10
Avatar Benja 28 de junio 15:51
uhh que colgado, gracias!!
Avatar Fernando 21 de junio 17:22
el ejercicio también se puede hacer con la regla de derivación de división?
Avatar Sol 26 de junio 16:20
@Fernando Esooo 
Avatar Julieta Profesor 28 de junio 14:39
@Fernando Hola Fer ¡sí obvio!
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