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@Benja Hola Benja, hice la regla de la cadena. Así que la derivada de 5x-k es 5, por lo que multiplica al 2, dando como resultado el 10
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uhh que colgado, gracias!!
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
12.
Sea $f(x)=\frac{(5 x-k)^{2}}{x}, \operatorname{con} k \in \mathbb{R}$.
a) Hallar los valores de $k$ para los cuales $f$ tiene un punto crítico en $x=1$.
a) Hallar los valores de $k$ para los cuales $f$ tiene un punto crítico en $x=1$.
Respuesta
Ohhh un ejercicio donde nos dan una incógnita distinta de $x$ (en este caso $k$) y nos dan una condición que se tiene que cumplir.. Ya vimos esto desde la práctica 1, así que ya sabemos bien cómo resolverlo!!
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Para que $f(x)$ tenga un punto crítico en $x=1$, la primera derivada $f'(x)$ tiene que ser igual a cero cuando $x=1$.
Primero, vamos a encontrar la primera derivada de $f(x)$.
$f(x) = \frac{(5x - k)^2}{x} = (5x - k)^2 \cdot x^{-1}$
Usamos la regla del producto y la regla de la cadena para derivar $f(x)$.
$f'(x) = (5x - k)^2 \cdot (x^{-1})' + x^{-1} \cdot ((5x - k)^2])'$
$f'(x) = (5x - k)^2 \cdot (-x^{-2}) + x^{-1} \cdot 10(5x - k)$
$f'(x) = -\frac{(5x - k)^2}{x^2} + \frac{10(5x - k)}{x}$
Ahora, para que $f'(1) = 0$, sustituimos $x = 1$ en la derivada:
$f'(1) = -\frac{(5(1) - k)^2}{1^2} + \frac{10(5(1) - k)}{1}$
$f'(1) = -(5 - k)^2 + 10(5 - k)$
$f'(1) = -25 + 10k - k^2 + 50 - 10k$
$f'(1) = -k^2 + 25$
Acordate que $f'(1) = 0$, etonces:
$-k^2 + 25 = 0$
$k^2 = 25$
$|k| = 5$
Descomponemos el módulo y nos queda:
$k = 5$ y $k = -5$
Los valores de $k$ para los cuales $f$ tiene un punto crítico en $x=1$ son $k = 5$ y $k = -5$.
ExaComunidad
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Benja
25 de junio 13:06
Hola Juli, no entiendo cómo al derivarlo queda así.
¿Por qué es que el 2 baja cómo 10???
Julieta
PROFE
28 de junio 14:39
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Benja
28 de junio 15:51
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Fernando
21 de junio 17:22
el ejercicio también se puede hacer con la regla de derivación de división?
