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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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11. Sea $f(x)=x+2 \cos (x)$. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de $f$ en el intervalo $[-\pi ; \pi]$. Hacer un gráfico aproximado.

Respuesta

Yo sé que asusta que sea una función trigonométrica pero no te preocupes, se resuelve exactamente igual que cualquier ejercicio de estudio de funciones usando la derivada. ¡Así que relax!

1. Calculemos el dominio de la función
\( f(x) \) está definida para todos los valores de \( x \) en el intervalo \([-π, π]\), ya que no hay restricciones en la función dada, es una trigonométrica.
$ \text{Dom}(f) = [-π, π] $


2. Hallamos la derivada de la función
$ f(x) = x + 2 \cos(x) $
$ f'(x) = 1 - 2 \sin(x) $

3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = [-π, π] \). No obtuvimos puntos críticos de acá.

3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:

$ 1 - 2 \sin(x) = 0 $
$ \sin(x) = \frac{1}{2} $
Los valores de \( x \) en el intervalo \([-π, π]\) que satisfacen esta ecuación son:
$ x_1 = \frac{π}{6} $

$ x_2 = \frac{5π}{6} $

(Podés usar el círculo trigométrico de $-\pi$ a $pi$ o evaluar para distintos valores de $k$ pero me parece que es un montón esa segunda opción).

4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \([-π, \frac{π}{6})\): \( f'(-\frac{π}{2}) = 1 - 2 \sin(-\frac{π}{2}) = 1 + 2 = 3 > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \((\frac{π}{6}, \frac{5π}{6})\): \( f'(\frac{π}{2}) = 1 - 2 \sin(\frac{π}{2}) = 1 - 2 = -1 < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.

-> Para \( x \) en Intervalo \((\frac{5π}{6}, π]\): \( f'(π) = 1 - 2 \sin(π) = 1 - 0 = 1 > 0 \). Es decir que \( f \) crece.


5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = \frac{π}{6} \) y \( x = \frac{5π}{6} \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = \frac{π}{6} \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
-> \( x = \frac{5π}{6} \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.

Podemos hallar las coordenadas del máximo y del mínimo sustituyendo los valores de \( x \) en la función \( f(x) \):
$ f\left(\frac{π}{6}\right) = \frac{π}{6} + 2 \cos\left(\frac{π}{6}\right) = \frac{π}{6} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{6} + \sqrt{3} $
$ f\left(\frac{5π}{6}\right) = \frac{5π}{6} + 2 \cos\left(\frac{5π}{6}\right) = \frac{5π}{6} + 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5π}{6} - \sqrt{3} $


Respuesta: Intervalo de crecimiento: \( [-π, \frac{π}{6}) \cup (\frac{5π}{6}, π] \) Intervalo de decrecimiento: \( (\frac{π}{6}, \frac{5π}{6}) \) Máximo relativo en \( x = \frac{π}{6} \) con coordenada \( \left(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3}\right) \) Mínimo relativo en \( x = \frac{5π}{6} \) con coordenada \( \left(\frac{5π}{6}, \frac{5π}{6} - \sqrt{3}\right) \)

Gráfico aproximado: Para el gráfico, se puede observar que la función \( f(x) = x + 2 \cos(x) \) tiene un comportamiento oscilatorio debido al término \( 2 \cos(x) \). La función tiene un máximo relativo en \( x = \frac{π}{6} \) y un mínimo relativo en \( x = \frac{5π}{6} \).


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Avatar Ámbar 28 de junio 18:10
Holi profe, esto lo suelen tomar? Porque aunque lo pude hacer, la verdad es que me mareé bastante jajaja
Avatar Julieta Profesor 30 de junio 12:08
@Ámbar Hola! Podrían tomarlo, pero es raro.. Así que si meten uno así los otros deberían ser más fáciles.
Avatar Magdalena 9 de junio 22:02
holaa, reemplazo en la funcion los max y min, pero las coordenadas me dan otra cosa, porque puede ser
Avatar Julieta Profesor 10 de junio 19:05
@Magdalena Holis! Puede ser, o bien, que no estás escribiendo $\pi$ en la calcu. O bien, que tengas la calcu configurada en grados en lugar de radianes. En el display te tiene que aparecer una R (no una D). 

Si te aparece la D, tocá la tecla MODE (o SHIFT + MODE) hasta que encuentres la opción de RAD. 
Avatar Blas 17 de marzo 20:39
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Avatar Julieta Profesor 18 de marzo 20:29
@Blas Bien.. veo cuando analizas el signo de la derivada en cada intervalo, al reemplazar los valores en la función estás usando probablemente la calculadora en grados (D), cuando tenés que usarla en radianes (R) en trigonometría. Esto lo configuras en tu calcu tocando la tecla MODE o SHIF+MODE.😉

Pero por oootra parte, cuando vos resolves por ejemplo: $sen(\frac{\pi}{2})$ en la calcu, tenés que poner escribirlo así: $sen(\pi/2)$, y no equivocarte y poner: $sen(\pi)/2$, ojo porque ahí es común equivocarse. 

Probá de esa forma y contame 🙂
Avatar Blas 18 de marzo 21:13
@Julieta Graciasnuevamente de menos infinito a más infinito profe
Avatar Blas 12 de marzo 20:32
Profe no sé qué estoy haciendo mal. Llegué a la derivada y a los puntos críticos todo bien. Después no sé si estoy usando mal la calculadora. Sigo paso a paso la solución que aparece en la guía y llego a resultados diferentes. 
Avatar Julieta Profesor 13 de marzo 12:35
@Blas ¡Hola Blas! Subí acá la foto de tu desarrollo después de haber hallado los puntos críticos a ver si puedo darte una mano 
Avatar Blas 17 de marzo 20:40
@Julieta Gracias!

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