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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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10. Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de $f$.
d) $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$

Respuesta

Vamos a resolver el ejercicio paso a paso, tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada.

1. Primero hallamos el dominio de la función.
La función \( \ln(x) \) está definida para \( x > 0 \) y la función racional \( \frac{1}{x} \) está definida para \( x \neq 0 \). Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es:
$ \text{Dom}(f) = (0, +\infty) $

Si no te acordás de esto, tengo el video de dominio de funciones donde vemos restricciones combinadas en la unidad de funciones.

2. Calculamos la derivada de la función.
$ f(x) = \frac{\ln(x)}{x} $
  
$ f'(x) = \left( \frac{\ln(x)}{x} \right)' = \frac{( \ln(x) )' \cdot x - \ln(x) \cdot (x)'}{x^2} $
$ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} $
$ f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} $

3. Buscamos los puntos críticos:
  3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = (0, +\infty) \). No obtuvimos puntos críticos de acá.
  3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
$ f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} = 0 $

$ 1 - \ln(x) = x^2 . 0 $

$ 1 - \ln(x) = 0 $
$ \ln(x) = 1 $
$ x = e $


4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, e) \): \( f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1 - \ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - (-\ln(2))}{\frac{1}{4}} = \frac{1 + \ln(2)}{\frac{1}{4}} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (e, +\infty) \): \( f'(e^2) = \frac{1 - \ln(e^2)}{(e^2)^2} = \frac{1 - 2}{e^4} = \frac{-1}{e^4} < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.


5. Evaluamos los máximos y mínimos.
Los puntos \( x = e \) es un punto crítico. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = e \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
Podemos hallar las coordenadas del extremo sustituyendo \( x = e \) en \( f(x) \): $ f(e) = \frac{\ln(e)}{e} = \frac{1}{e} $



Respuesta: Dominio: \( (0, +\infty) \) Intervalos de crecimiento: \( (0, e) \) Intervalos de decrecimiento: \( (e, +\infty) \) Máximo relativo en \( x = e \), con coordenadas \( (e, \frac{1}{e}) \)
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Avatar Magdalena 9 de junio 19:27
Holaa, para hacer bolzano con e, no entiendo que valor de e usas, como sabes q e vale uno??
Avatar Julieta Profesor 10 de junio 18:59
@Magdalena Hola Magda! Mirá el apunte sobre cómo despejar la $x$ de funciones logarítmicas y también el de funciones exponenciales. No te olvides que $e$ es un número!! 2,718281 blablabla.. 
Avatar Mallo 1 de noviembre 16:48
hola profe, buenas tardes disculpa pero no entiendo que hiciste en el ultimo paso de la derivada donde esta el 1 sobre x por x y despues las x desaparecen y queda solo el 1
Avatar Julieta Profesor 8 de noviembre 09:41
@Mallo Hola! dividí x por x. O simplifiqué las x, es lo mismo.
Avatar Daniela 17 de junio 16:45
juli hay algun tutorial para usar la calcu con ln ??? gracias
Avatar Fernando 21 de junio 02:25
@Daniela ln y colocas el numero que deseas calcular . ej:  ln 4 =1.386... recorda que los logaritmos son siempre positivos y mayores que 0 (no podes calcular un logaritmo negativo)
Avatar Julieta Profesor 25 de junio 15:23
❤️
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