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$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} $
2. Hallamos la derivada de la función
$ f(x) = 3x^{4} + 4x^{3} - 12x^{2} + 7 $
$ f'(x) = 12x^{3} + 12x^{2} - 24x $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \mathbb{R}. \) No obtuvimos puntos críticos de acá.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ 12x^{3} + 12x^{2} - 24x = 0 $
Factorizamos la derivada:
$ 12x(x^{2} + x - 2) = 0 $
Resolvemos la ecuación cuadrática \( x^{2} + x - 2 = 0 \):
$ x = -2, x = 1, x = 0 $
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, -2) \): \( f'(-3) = 12(-3)^{3} + 12(-3)^{2} - 24(-3) = -324 + 108 + 72 = -144 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-2, 0) \): \( f'(-1) = 12(-1)^{3} + 12(-1)^{2} - 24(-1) = -12 + 12 + 24 = 24 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, 1) \): \( f'(0,5) = 12(0,5)^{3} + 12(0,5)^{2} - 24(0,5) = 1,5 + 3 - 12 = -7,5 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (1, +\infty) \): \( f'(2) = 12(2)^{3} + 12(2)^{2} - 24(2) = 96 + 48 - 48 = 96 \). Es decir que \( f \) crece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = -2 \), \( x = 0 \), y \( x = 1 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = -2 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
-> \( x = 0 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
-> \( x = 1 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
Podemos hallar las coordenadas de los máximos y mínimos sustituyendo los valores de $x$ en la función \( f(x) \):
$ f(-2) = 3(-2)^{4} + 4(-2)^{3} - 12(-2)^{2} + 7 = 48 - 32 - 48 + 7 = -25 $
$ f(0) = 3(0)^{4} + 4(0)^{3} - 12(0)^{2} + 7 = 7 $
$ f(1) = 3(1)^{4} + 4(1)^{3} - 12(1)^{2} + 7 = 3 + 4 - 12 + 7 = 2 $
Respuesta:
Intervalo de crecimiento: \( (-2, 0) \cup (1, +\infty) \) Intervalo de decrecimiento: \((- \infty, -2) \cup (0, 1) \) Máximo relativo en \( x = 0 \) con coordenada \( (0, 7) \) Mínimo relativo en \( x = -2 \) con coordenada \( (-2, -25) \) Mínimo relativo en \( x = 1 \) con coordenada \( (1, 2) \)
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@Franco Hola Fran, está perfecto si lo hiciste así. No es que volviste a sacar factor común, sino que en lugar de sacar 12x como factor común solo sacaste a la x, pero sí, se llega el mismo resultado. No hace falta que saques el número también, pero a veces facilita las cuentas.
@Vicky Hola Vicky, ahí le respondí a Mora, fijate el error que tuvo a ver si te pasó lo mismo. ¡Gracias e igualmente para vos!
@N Hola, ahí le respondí a Mora, fijate el error que tuvo a ver si te pasó lo mismo.
@Mora ¡Hola Mora, qué prolijidad hermosa!
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7.
Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ y dónde alcanza los extremos locales. Dar los correspondientes valores extremos y graficar $f$ aproximadamente.
a) $f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}+7$
a) $f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}+7$
Respuesta
Arrancamos con el tema de estudio de funciones usando la derivada. Si no te acordás de ésto andá al curso, que es la segunda parte de derivadas. ¡Empecemos!
1. Calculemos el dominio de la función. Siempre que hagamos estudio de funciones, aunque no te lo pidan, vos calculalo.
\( f(x) \) es un polinomio, por lo tanto stá definida para todos los valores de \( x \).
$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} $
2. Hallamos la derivada de la función
$ f(x) = 3x^{4} + 4x^{3} - 12x^{2} + 7 $
$ f'(x) = 12x^{3} + 12x^{2} - 24x $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \mathbb{R}. \) No obtuvimos puntos críticos de acá.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ 12x^{3} + 12x^{2} - 24x = 0 $
Factorizamos la derivada:
$ 12x(x^{2} + x - 2) = 0 $
Resolvemos la ecuación cuadrática \( x^{2} + x - 2 = 0 \):
$ x = -2, x = 1, x = 0 $
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, -2) \): \( f'(-3) = 12(-3)^{3} + 12(-3)^{2} - 24(-3) = -324 + 108 + 72 = -144 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-2, 0) \): \( f'(-1) = 12(-1)^{3} + 12(-1)^{2} - 24(-1) = -12 + 12 + 24 = 24 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, 1) \): \( f'(0,5) = 12(0,5)^{3} + 12(0,5)^{2} - 24(0,5) = 1,5 + 3 - 12 = -7,5 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (1, +\infty) \): \( f'(2) = 12(2)^{3} + 12(2)^{2} - 24(2) = 96 + 48 - 48 = 96 \). Es decir que \( f \) crece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = -2 \), \( x = 0 \), y \( x = 1 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = -2 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
-> \( x = 0 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
-> \( x = 1 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
Podemos hallar las coordenadas de los máximos y mínimos sustituyendo los valores de $x$ en la función \( f(x) \):
$ f(-2) = 3(-2)^{4} + 4(-2)^{3} - 12(-2)^{2} + 7 = 48 - 32 - 48 + 7 = -25 $
$ f(0) = 3(0)^{4} + 4(0)^{3} - 12(0)^{2} + 7 = 7 $
$ f(1) = 3(1)^{4} + 4(1)^{3} - 12(1)^{2} + 7 = 3 + 4 - 12 + 7 = 2 $
Respuesta:
Intervalo de crecimiento: \( (-2, 0) \cup (1, +\infty) \) Intervalo de decrecimiento: \((- \infty, -2) \cup (0, 1) \) Máximo relativo en \( x = 0 \) con coordenada \( (0, 7) \) Mínimo relativo en \( x = -2 \) con coordenada \( (-2, -25) \) Mínimo relativo en \( x = 1 \) con coordenada \( (1, 2) \)
El gráfico quedaría así:
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Franco
13 de junio 17:04
holaa profe, espero que estes bien. Me surgio una duda con el tema de sacar factor comun en este ejemplo. yo saque factor comun x : x(12x^2+12x-24)=0 y no me di cuenta que podia sacar factor comun otra vez, pero opere y me quedaron los mismos resultados, -2,0 y 1 . es necesario siempre sacar la minima expresion con factor comun o si consigo una expresion de grado 2 (aunque pueda seguir sacando factor comun) ya puedo hacer resolvente?
Julieta
PROFE
18 de junio 16:38
0
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Vicky
4 de junio 22:29
Hola juli! Cómo estás? no entiendo porque 0 también es un punto critico. ¿ de donde sale?. Muchas gracias y buena semana!!
Julieta
PROFE
8 de junio 7:39
0
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Julieta
PROFE
8 de junio 7:38
0
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Julieta
PROFE
8 de junio 7:38
Bueno, ojo con el 12x = 0, porque ahí el 12 multiplica a la x, es decir que debería pasar del otro lado del igual dividiendo al cero. Y como el numerador es cero te daría cero:
12x=0
x=0
0
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