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@Fernando ¡Hola! Sí, está perfecto, es otra forma de expresarla pero son equivalentes ambas expresiones
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de $f$ en el punto $(x_{0}, f(x_{0}))$ para el $x_{0}$ dado.
a) $f(x)=\sqrt{2 x-3}$ en $x_{0}=6$
a) $f(x)=\sqrt{2 x-3}$ en $x_{0}=6$
Respuesta
¡¡Ya vimos cómo se resuelven estos ejercicios, así que adelante!!
1. Planteamos la ecuación de la recta:
La ecuación de la recta es:
$
y = mx + b
$
Para el punto \((x_0, y_0)\) nos queda:
$
y_0 = mx_0 + b
$
donde \( m = f'(x_0) \) y \( y_0 = f(x_0) \).
2. Primero calculemos la derivada de la función para poder hallar la pendiente \( m = f'(x_0) \):
$
f(x) = \sqrt{2x - 3}
$
La derivada de \( f(x) \) es:
$
f'(x) = \left( \sqrt{2x - 3} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{2x - 3}} \cdot (2) = \frac{1}{\sqrt{2x - 3}}
$
Ahora evaluamos la derivada en \( x_0 = 6 \) para obtener la pendiente de la tangente:
$
m = f'(6) = \frac{1}{\sqrt{2(6) - 3}} = \frac{1}{\sqrt{12 - 3}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}
$
3. Ahora calculemos \( y_0 = f(x_0) \):
$
f(6) = \sqrt{2(6) - 3} = \sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3
$
Reemplacemos los valores en la ecuación de la recta:
$
y_0 = mx_0 + b
$
$
3 = \frac{1}{3} \cdot 6 + b
$
$
3 = 2 + b
$
$
b = 3 - 2 = 1
$
4. Reemplazamos los valores de \( m \) y \( b \) en la ecuación de la recta:
$
y = \frac{1}{3}x + 1
$
La ecuación de la recta tangente es \( y = \frac{1}{3}x + 1 \).
ExaComunidad
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Fernando
11 de junio 20:05
Hola Profe!! Una consulta esto estaría bien derivado? pregunto porque yo utilice el resultado de mi derivada de F'(X) para hallar el valor de M(pendiente) y me dio lo mismo a como resolviste arriba. y todo el ejercicio me salio bien pero la derivada me quedo diferente.
Julieta
PROFE
17 de junio 12:26
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