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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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2. En cada caso hallar dominio, imagen, ceros, conjuntos de positividad y de negatividad y dar la ecuación de la asintota horizontal de $f$. Graficar.
c) $f(x)=6 e^{x+2}-5$

Respuesta

En el video de funciones exponenciales vimos que éstas no tienen restricciones de su dominio, por lo tanto:
• $Domf= \Re$  

Identifiquemos si se trata de una función exponencial creciente ($a>0$) o decreciente ($0<a<1$): La función $f(x)=e^{x+1}$ tiene base $e \approx 2,71..$. Es decir que la función va a ser del tipo creciente.
-> Hallemos los ceros: $f(x)=0$ $0 = 6e^{x+2} - 5$
$5 = 6e^{x+2}$
$\frac{5}{6} = e^{x+2}$ Aplicamos logaritmo natural de ambos lados: $\ln(\frac{5}{6}) = x + 2$
  $x = \ln(\frac{5}{6}) - 2$ 
• $C^{0} = \ln(\frac{5}{6}) - 2$

-> Hallemos la imagen:
Observando la función, vemos que hay un valor restando a la porción exponencial, y eso nos indica que su imagen va a comenzar en -5. Hay una traslación de la gráfica $e^{-x}$ de cinco unidades hacia abajo. Sabiendo que la función es decreciente, podemos decir que:

• $Imf = (-5, \infty) $ Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad: Al saber que hay un cero en $x = \ln(\frac{5}{6}) - 2$, y dada la forma decreciente de la función, podemos determinar ésta es negativa para $x$ menores a $\ln(\frac{5}{6}) - 2$ y positiva para $x$ mayores a $\ln(\frac{5}{6}) - 2$. (Si vos querés podés hacer Bolzano también, como prefieras).


• $C^{+} = (\ln(\frac{5}{6}) - 2, \infty) $ • $C^{-} = (-\infty, \ln(\frac{5}{6}) - 2)$  


 -> Hallemos la asíntota horizontal:

Veamos si hay asíntota horizontal, analizando los límites cuando $x$ tiende a -infinito y + inifnito, considerando que la función es creciente:
· Cuando $x \to +\infty$:
  $\lim_{x \to +\infty} 6e^{x+2} - 5 = 6e^{+\infty} - 5 = +\infty - 5 = +\infty$

· Cuando $x \to -\infty$:
    $\lim_{x \to -\infty} 6e^{x+2} - 5 = 6e^{-\infty} - 5 = 0 - 5 = -5$


• Hay AH en $y = -5$
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Comentarios
camila
27 de septiembre 10:21
Profe no entiendo la imagen como se escribe. Siempre es el número y después se escribe el +infinito o también puede ser -infinito y el número. Porque si son las dos opciones no se como darme cuenta como se escribe.
0 Responder
Julieta
PROFE
15 de octubre 11:38
@camila Hola Cami, perdón se me pasó este mensaje!! En el video de funciones exponenciales lo vemos, andá ahí que vas a entenderlo mejor. :D
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