Volver a Guía
Ir al curso
$f(x) = \frac{2}{3 x-1}+5$
Reportar problema
CURSO RELACIONADO
Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Dadas $f$ y $g$, calcular $h=g \circ f$. Dar, en cada caso, las ecuaciones de las asintotas de $h$ y de $h^{-1}$.
c) $f(x)=\frac{2}{3 x-1}+5, \quad g(x)=x+2$
c) $f(x)=\frac{2}{3 x-1}+5, \quad g(x)=x+2$
Respuesta
Son tres ejercicios en uno:
1. Calcular la composición de funciones -> $h(x)$
2. Calcular la inversa de la función -> $h^{-1}(x)$
3. Calcular las asíntotas de ambas funciones
1. Calculemos la composición de funciones:
$g(x) = x+2$
$h(x) = g(f(x)) = \frac{2}{3 x-1}+5+2$
• $h(x) = g(f(x)) = \frac{2}{3 x-1}+7$
2. Vamos a obtener la inversa de $h(x)$:
$y = \frac{2}{3 x-1}+7$
$x = \frac{2}{3 y-1}+7$
$x -7= \frac{2}{3 y-1}$
$(x -7)(3y-1)= 2$
$3xy -x -21y +7 = 2$
$3xy -21y = x + 2 -7$
$y (3x -21) = x-5$
$y= \frac{x-5}{3x-21}$
• $h^{-1}(x) =\frac{x-5}{3x-21}$
3. Ahora vamos a buscar las asíntotas:
-> Asíntotas de la función $h(x)$:
AH:
$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2}{3 x-1}+7$ = 7$
$\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{2}{3 x-1}+7= 7$
• Por lo tanto, $h(x)$ tiene una asíntota horizontal en $y=7$.
AV:
$3 x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}$
En $x=\frac{1}{3}$, $\lim_{x\rightarrow\frac{1}{3}} \frac\frac{2}{3 x-1}+7 = \infty$
• Por lo tanto, $h(x)$ tiene una asíntota vertical en $x=\frac{1}{3}$.
-> Asíntotas de la función $h^{-1}(x)$:
AH:
$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{x-5}{3x-21} =\frac{1}{3}$
$\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{x-5}{3x-21} = \frac{1}{3}$
• Por lo tanto, $h^{-1}(x)$ tiene una asíntota horizontal en $y=\frac{1}{3}$.
AV:
$3x-21 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$
En $x=7$, $\lim_{x\rightarrow4^+} \frac{x-5}{3x-21} = -\infty$
$\lim_{x\rightarrow4^-} \frac{x-5}{3x-21} = +\infty$
• Por lo tanto, $h^{-1}(x)$ tiene una asíntota vertical en $x=7$.