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Matemática 51

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

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9. Dadas $f$ y $g$, calcular $h=g \circ f$. Dar, en cada caso, las ecuaciones de las asintotas de $h$ y de $h^{-1}$.
b) $f(x)=4 x-2, \quad g(x)=\frac{x+2}{2 x-3}+1$

Respuesta

Son tres ejercicios en uno:

1. Calcular la composición de funciones -> $h(x)$
2. Calcular la inversa de la función -> $h^{-1}(x)$
3. Calcular las asíntotas de ambas funciones



1. Calculemos la composición de funciones:


$f(x) = 4x-2$,   $g(x) = \frac{x+2}{2x-3}+1$

$h(x) = (g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{(4x-2)+2}{2(4x-2)-3}+1 = \frac{4x}{8x-7}+1$

• $h(x) = \frac{4x}{8x-7}+1$
 

2. Vamos a obtener la inversa de $h(x)$:

  $y = \frac{4x}{8x-7}+1$
$x = \frac{4y}{8y-7}+1$
$(x-1)(8y-7) = 4y$
$8xy-7x-8y+7 = 4y$
$-7x+7 = y(12-8x)$
$y = \frac{-7x+7}{-8x+12}$
• $h^{-1}(x) = \frac{-7x+7}{-8x+12}$


 3. Ahora vamos a buscar las asíntotas:


-> Asíntotas de la función $h(x)$:

AH: 

$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{4x}{8x-7}+1 = \frac{\infty}{\infty}+1 = \frac{\infty}{\infty}$
$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{4x}{x(8-\frac{7}{x})}+1$
$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{4}{8-\frac{7}{x}}+1 = \frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2}$
$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{4x}{8x-7}+1 = \frac{\infty}{\infty}+1 = \frac{\infty}{\infty}$
$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{4x}{x(8-\frac{7}{x})}+1$

$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{4}{8-\frac{7}{x}}+1 = \frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2}$

• Por lo tanto, $h(x)$ tiene asíntota horizontal en $y=\frac{3}{2}$

AV: Ahora para obtener las asíntotas verticales primero obtenemos el dominio.
$8x-7 \neq 0$
$8x \neq 7$
$x \neq \frac{7}{8}$
Veamos qué pasa en el valor $x=\frac{7}{8}$
$\lim_{x\rightarrow \frac{7}{8}} \frac{4x}{8x-7}+1 = \infty + 1 = \infty$

• Por lo tanto, $h(x)$ tiene asíntota vertical en $x=\frac{7}{8}$


-> Asíntotas de la función $h^{-1}$:

AH: 

$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-7x+7}{-8x+12} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x(-7+\frac{7}{x})}{x(-8+\frac{12}{x})} = \frac{7}{8}$
$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{-7x+7}{-8x+12} = \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x(-7+\frac{7}{x})}{x(-8+\frac{12}{x})} = \frac{7}{8}$


• Por lo tanto hay una asíntota horizontal en $y=\frac{7}{8}$

AV: Ahora para obtener las asíntotas verticales primero obtenemos el dominio.
$-8x+12 \neq 0$
$x \neq \frac{3}{2}$
Veamos qué pasa en el valor $x=\frac{3}{2}$
$\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}^+} \frac{-7x+7}{-8x+12} = \frac{-\frac{7}{2}^+}{0^+} = -\infty$
$\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}^-} \frac{-7x+7}{-8x+12} = \frac{-\frac{7}{2}^-}{0^-} = +\infty$

• Por lo tanto, $h^{-1}$ tiene asíntota vertical en $x=\frac{3}{2}$
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