Volver a Guía
Ir al curso
$f(x) = -2x+1$, $g(x) = \frac{-x+3}{4x-1}$
Reportar problema
CURSO RELACIONADO
Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Dadas $f$ y $g$, calcular $h=g \circ f$. Dar, en cada caso, las ecuaciones de las asintotas de $h$ y de $h^{-1}$.
a) $f(x)=-2 x+1, \quad g(x)=\frac{-x+3}{4 x-1}$
a) $f(x)=-2 x+1, \quad g(x)=\frac{-x+3}{4 x-1}$
Respuesta
Otro típico ejercicio de examen de los que hablamos en el curso. Es más de lo que veníamos viendo, pero todo junto. Son tres ejercicios en uno:
1. Calcular la composición de funciones -> $h(x)$
2. Calcular la inversa de la función -> $h^{-1}(x)$
3. Calcular las asíntotas de ambas funciones
Preparate el mate, el café, toma coraje y ¡empecemos!
1. Calculemos la composición de funciones:
$h(x) = g \circ f(x) = g(f(x)) = \frac{-(-2x+1)+3}{4(-2x+1)-1} = \frac{2x+2}{-8x+3}$
• $h(x) = \frac{2x+2}{-8x+3}$
2. Vamos a obtener la inversa de $h(x)$:
$h(x) = \frac{2x+2}{-8x+3}$
$y = \frac{2x+2}{-8x+3}$
$x = \frac{2y+2}{-8y+3}$
$x(-8y+3) = 2y+2$
$-8xy+3x = 2y+2$
$3x-2 = 2y+8xy$
$3x-2 = y(2+8x)$
$y = \frac{3x-2}{8x+2}$
• $h^{-1}(x) = \frac{3x-2}{8x+2}$
3. Ahora vamos a buscar las asíntotas:
-> Asíntotas de la función $h(x)$:
AH:
$\lim_{x \to \infty} \frac{2x+2}{-8x+3} = \frac{\infty}{\infty} \rightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{x(2+\frac{2}{x})}{x(-8+\frac{3}{x})} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$
$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x+2}{-8x+3} = \frac{\infty}{\infty} \rightarrow \lim_{x \to -\infty} \frac{x(2+\frac{2}{x})}{x(-8+\frac{3}{x})} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$
• Por lo tanto, $h(x)$ tiene asíntota horizontal en $y = -\frac{1}{4}$
AV:
Para obtener las asíntotas verticales primero obtenemos el dominio.
$-8x + 3 \neq 0 \rightarrow -8x \neq -3 \rightarrow x \neq \frac{-3}{-8} \rightarrow x \neq \frac{3}{8}$
Veamos qué pasa en el valor $x = \frac{3}{8}$
$\lim_{x \to \frac{3}{8}} \frac{2x+2}{-8x+3} = \infty$
• Por lo tanto, $h(x)$ tiene asíntota vertical en $x = \frac{3}{8}$
-> Asíntotas de la función $h^{-1}$:
AH:
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x-2}{8x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(3-\frac{2}{x})}{x(8+\frac{2}{x})} = \frac{3}{8}$
$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x-2}{8x+2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(3-\frac{2}{x})}{x(8+\frac{2}{x})} = \frac{3}{8}$
• Por lo tanto, $h^{-1}$ tiene asíntota horizontal en $y = \frac{3}{8}$
AV:
Ahora para obtener las asíntotas verticales primero obtenemos el dominio.
$8x+2 \neq 0 \rightarrow x \neq -\frac{1}{4}$
Veamos qué pasa en el valor $x = -\frac{1}{4}$
$\lim_{x \to -\frac{1}{4}^+} \frac{3x-2}{8x+2} = \frac{3(-\frac{1}{4}^+)-2}{8(-\frac{1}{4}^+)+2} = -\infty$
$\lim_{x \to -\frac{1}{4}^-} \frac{3x-2}{8x+2} = \frac{3(-\frac{1}{4}^-)-2}{8(-\frac{1}{4}^-)+2} = +\infty$
• Por lo tanto, $h^{-1}$ tiene asíntota vertical en $x = -\frac{1}{4}$