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$x=\frac{4}{y-3}+2$
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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8. Sea $f(x)=\frac{4}{x-3}+2$. Hallar la función inversa $f^{-1}$ y dar el conjunto de positividad de $f^{-1}$.
Respuesta
Tenemos dos ejercicios en uno:
1. Hallar la función inversa $f^{-1}$
2. Análisis de funciones -> $C^{+}$
1. Hallemos la función inversa:
$f(x)= \frac{4}{x-3}+2$
$y= \frac{4}{x-3}+2$
$x-2=\frac{4}{y-3}$
$y-3=\frac{4}{x-2}$
$y=\frac{4}{x-2}+3$
$f^{-1}\left(x\right)=\frac{4}{x-2}+3$
2. Hagamos el análisis de la función $f^{-1}$:
-> $C^{+}$ se obtiene mediante Bolzano, conocidos el dominio de la función (todos los reales) y el conjunto de ceros:
Dominio de $f^{-1}$:
$x-2 \neq0$
$x \neq 2$
$Domf^{-1}=\mathbb{R}-\left\{2\right\}$
Conjunto de ceros $C^{0}$:
$f^{-1}=0$
$\frac{4}{x-2}+3=0$
$\frac{4}{x-2}=-3$
$4=-3x+6$
$3x=2$
$x=\frac{2}{3}$
$C^{0} = \left\{\frac{2}{3}\right\}$
Por Bolzano,
• $C^{+}=\left(-\infty;\frac{2}{3}\right)\cup\left(2;+\infty\right)$