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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

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8. Sea $f(x)=\frac{4}{x-3}+2$. Hallar la función inversa $f^{-1}$ y dar el conjunto de positividad de $f^{-1}$.

Respuesta

Tenemos dos ejercicios en uno:

1. Hallar la función inversa $f^{-1}$

2. Análisis de funciones -> $C^{+}$



1. Hallemos la función inversa:


$f(x)= \frac{4}{x-3}+2$


$y= \frac{4}{x-3}+2$


$x=\frac{4}{y-3}+2$
$x-2=\frac{4}{y-3}$


$(x-2)(y-3)=4$
$y-3=\frac{4}{x-2}$
$y=\frac{4}{x-2}+3$

$f^{-1}\left(x\right)=\frac{4}{x-2}+3$



2. Hagamos el análisis de la función $f^{-1}$:


-> $C^{+}$ se obtiene mediante Bolzano, conocidos el dominio de la función (todos los reales) y el conjunto de ceros.

  Dominio de $f^{-1}$:  

$x-2 \neq0$

$x \neq 2$


$Domf^{-1}=\mathbb{R}-\left\{2\right\}$



Conjunto de ceros $C^{0}$:  


$f^{-1}=0$

  $\frac{4}{x-2}+3=0$
$\frac{4}{x-2}=-3$
$4=-3x+6$
$3x=2$
$x=\frac{2}{3}$



$C^{0} = \left\{\frac{2}{3}\right\}$



Hacemos Bolzano, analizando el signo de la función en los intervalos que se generan al dividir el dominio en los ceros de la función. 

$Domf^{-1}=\mathbb{R}-\left\{2\right\}$ 
$C^{0} = \left\{\frac{2}{3}\right\}$ 

Nos quedan tres intervalos: Intervalo 1: $(-\infty; \frac{2}{3})$ Intervalo 2: $(\frac{2}{3}; 2)$

Intervalo 3: $(2; +\infty)$



En $(-\infty, \dfrac{2}{3})$, tomamos por ejemplo $x = 0$: $f^{-1}(0) = \dfrac{4}{0 - 2} + 3 = \dfrac{4}{-2} + 3 = -2 + 3 = 1$  ->  $f^{-1} >0$ (positiva)
En $(\dfrac{2}{3}, 2)$, tomamos $x = 1$: $f^{-1}(1) = \dfrac{4}{1 - 2} + 3 = \dfrac{4}{-1} + 3 = -4 + 3 = -1$ ->  $f^{-1} <0$ (negativa)  En $(2, +\infty)$, tomamos $x = 3$: $f^{-1}(3) = \dfrac{4}{3 - 2} + 3 = 4 + 3 = 7$  ->  $f^{-1} >0$ (positiva)  $C^+$: $(-\infty, \dfrac{2}{3}) \cup (2, +\infty)$
$C^-$: $(\dfrac{2}{3}, 2)$





• $C^{+}=\left(-\infty;\frac{2}{3}\right)\cup\left(2;+\infty\right)$
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Avatar Valeria 24 de mayo 22:24
Hola Juli! Te subo una foto del ejercicio para que por favor me digas que hice mal al calcular la inversa que no me dio igual a vos, pero el resto del ejercicio si me dio igual. Gracias!2025-05-24%2022:24:05_7479122.png
Avatar Julieta Profesor 26 de mayo 19:49
@Valeria Hola Vale! Sí, es una forma equivalente de la misma inversa!
Avatar Isabella 15 de mayo 12:15
Hola profee, no entiendo porque pasa de x-2= 4/y-3 a y-3=4/x-2, no deberia ser x-2 y pasar lo que divide al 4 multiplicando para el otro lado? no entiendo porque lo hice y no me queda igual.

Avatar Julieta Profesor 15 de mayo 17:06
@Isabella Hola Isa! Ahí desarrollé un poco más para que veas cómo hice ese pasaje
Avatar Isabella 15 de mayo 17:25
@Julieta gracias profe! ya entendi, yo a lo primero lo hice asi, me dio distinta la inversa pero la raiz me dio igual y el dominio  tambien puede ser?2025-05-15%2017:22:11_6254202.png
Avatar Delfi 11 de mayo 21:19
Hola profe, el intervalo (-infinito, 2/3) me quedo negative por Bolzano. No se qué estoy haciendo mal. Elegi el valor 0 para remplazar X. No me deja adjuntar imagen pero lo estoy haciendo separando en terminos, tal cual lo haces en los videos
Avatar Julieta Profesor 12 de mayo 13:50
@Delfi Hola Delfi, ahí desarrollé las cuentas para puedas ver dónde está tu error☺️
Avatar Abigail 26 de septiembre 16:51
profe antes de hacer la inversa la reduci a una sola fraccion y la inversa me quedo 3x-2/x-2, esta bien igualmente?
Avatar Julieta Profesor 30 de septiembre 16:44
@Abigail Reemplazá cualquier valor en la x (por ej: x=1) y compará si te da el resultado que a mí. Eso sí eh, un valor que esté dentro del dominio de la función jaja ya veo que justo elegis el 2 y el denominador te va a dar cero y eso no existe jajaja. Pero haciendo eso podés saber si tu inversa está bien al compararla con la que obtengo yo ;)
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