Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

Anterior Siguiente

7. Sea $f(x)=\frac{1}{3 x-2}$. Dar el dominio y la imagen de $f$. Calcular $f^{-1}$ y hallar su dominio e imagen. Graficar ambas funciones.

Respuesta

Para la función $f(x)=\frac{1}{3x-2}$, que fijate que es una homográfica, así que podríamos pensarla como:


$\frac{ax+b}{cx+d}$ 

donde $a=0$, $b=1$, $c=3$ y $d=-2$



A partir de la fórmula entonces podemos determinar el dominio y la imagen fácilmente:


• Dominio de $f$:


$Dom f = \Re - \{ - \frac{d}{c}\}$  (solo vale para funciones homográficas)


$Dom f = \Re - \{ - \frac{-2}{3}\} $


$Dom f = \Re - \{ \frac{2}{3}\} $



• Imagen de $f$:


$Im f = \Re - \{ \frac{a}{c}\}$ (solo vale para funciones homográficas)


$Im f = \Re - \{\frac{0}{3}\} $


$Im f = \Re - \{0\} $



Si no te das cuenta que es una función homográfica, no hay problema. Podés simplemente calcular el dominio como siempre, evaluando las restricciones de dominio (en este caso que $3x-2 \neq 0$). Y la imagen la calculas a partir del dominio de la inversa. 




Ahora, vamos a calcular la función inversa $f^{-1}(x)$.

Para encontrar la inversa, intercambiamos $x$ por $y$ y despejamos $y$:

$f(x)=\frac{1}{3x-2}$


$x = \frac{1}{3y-2}$  


$3y-2 = \frac{1}{x}$


$ 3y = \frac{1}{x} + 2$


$y = \frac{\frac{1}{x} + 2}{3}$


Podemos repartir el denominador para que nos quede más linda la expresión (pero no es necesario):


$y = \frac{1}{3x} + \frac{2}{3}$



Entonces, $f^{-1}(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2}{3}$. Aunque también podrías seguir operando para obtener una expresión cuadrática del tipo $\frac{ax+b}{cx+d}$ si así lo quisieras. Es medio engorroso, no creo que valga la pena.



$f^{-1}(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2}{3}$



• Dominio de $f^{-1}$:

Para hallar el dominio decimos que el denominador con $x$ no puede ser igual a cero:

$3x \neq = 0$

$x \neq \frac{0}{3}$

$x \neq 0$



$Dom f^{-1} =\Re - \{0\} $




• Imagen de $f^{-1}$:


$Im f^{-1} = Dom f $ (solo vale para funciones homográficas)


$Im f^{-1} = \Re - \{ \frac{2}{3}\} $


Reportar problema
🤖
¿Tenés dudas? Pregúntale a ExaBoti
Asistente de IA para resolver tus preguntas al instante
🤖
¡Hola! Soy ExaBoti

Para chatear conmigo sobre este ejercicio necesitas iniciar sesión

Iniciar Sesión Registrarse
ExaComunidad
Conecta con otros estudiantes y profesores
Avatar Valeria 24 de mayo 20:55
Hola Juli! si cuando obtengo la función inversa no reparto el denominador, cómo me doy cuenta cual es el denominador con x para plantear la restricción de dominio?
Avatar Julieta Profesor 26 de mayo 19:47
@Valeria Hola Vale! Si no lo repartís, la función te quedaría así: 

$y = \frac{\frac{1}{x} + 2}{3}$

Y calculás el dominio como siempre. Donde veas una restricción la planteas. Acá tenés una división con $x$ en el denominador, así que ese denominador no puede valer 0.


• Dominio de $f^{-1}$:

Para hallar el dominio decimos que el denominador con $x$ no puede ser igual a cero:

$x \neq 0$


$Dom f^{-1} =\Re - \{0\} $


Es lo lindo de las matemáticas, es una ciencia exacta. Vas a llegar al mismo resultado, no importa el camino
Avatar Bel 4 de mayo 16:47
Hola Juli, no comprendo el final de la ecuación inversa cuando pasas el 3 dividiendo del otro lado a (1/x + 2) como llegás a ese resultado.
Avatar Julieta Profesor 5 de mayo 14:34
@Bel Hola Bel! La verdad me pareció un poco rebuscada la explicación: sumar las fracciones de distinto denominador, dividir por el 3, simplificar.. podrías hacerlo, pero quizás en un parcial no te des cuenta de eso. Así que directamente cambié la forma de expresar la función inversa a algo más simple. Creo que es mejor. 
Avatar Mallo 17 de septiembre 16:39
profe consulta, no entiendo cuando haces la funcion inversa, no habria que pasar multiplicando 3y - 2 y hacer distributiva con la x? de donde salio la x que divide al 1?

Avatar Julieta Profesor 19 de septiembre 15:39
@Mallo Hola! Se puede hacer de esa forma. Pero como del otro lado del igual solo hay un 1, me pareció buena idea pasar la x dividiendo a ese uno. Es decir, el denominador del lado derecho pasó multiplicando a la x. Pero a su vez, la x pasó diviendo al 1. Como que cambiaron lugares jajaja. Podés hacerlo en 2 pasos si te parece mejor. O también podés resolverlo como vos decís, haciendo la distributiva. Pero no tiene tanto sentido porque no tenés ninguna $y$ del lado derecho del igual.
¡Uníte a la ExaComunidad! 💬

Conéctate con otros estudiantes y profesores

Iniciar Sesión Registrarse