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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7. Sea $f(x)=\frac{1}{3 x-2}$. Dar el dominio y la imagen de $f$. Calcular $f^{-1}$ y hallar su dominio e imagen. Graficar ambas funciones.
Respuesta
Para la función $f(x)=\frac{1}{3x-2}$, que fijate que es una homográfica, así que podríamos pensarla como:
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$\frac{ax+b}{cx+d}$
donde $a=0$, $b=1$, $c=3$ y $d=-2$
A partir de la fórmula entonces podemos determinar el dominio y la imagen fácilmente:
• Dominio de $f$:
$Dom f = \Re - \{ - \frac{d}{c}\}$ (solo vale para funciones homográficas)
$Dom f = \Re - \{ - \frac{-2}{3}\} $
$Dom f = \Re - \{ \frac{2}{3}\} $
• Imagen de $f$:
$Im f = \Re - \{ \frac{a}{c}\}$ (solo vale para funciones homográficas)
$Im f = \Re - \{\frac{0}{3}\} $
$Im f = \Re - \{0\} $
Ahora, vamos a calcular la función inversa $f^{-1}(x)$.
Para encontrar la inversa, intercambiamos $x$ por $y$ y despejamos $y$:
$f(x)=\frac{1}{3x-2}$
$x = \frac{1}{3y-2}$
$3y-2 = \frac{1}{x}$
$ 3y = \frac{1}{x} + 2$
$y = \frac{1+2x}{3x}$
Así que la función inversa es $f^{-1}(x)=\frac{1+2x}{3x}$, que, nuevamente es una función homográfica, donde ahora tenemos que $a=0$, $b=2$, $c=3$ y $d=0$
• Dominio de $f^{-1}$:
$Dom f^{-1} = \Re - \{ - \frac{d}{c}\}$ (solo vale para funciones homográficas)
$Dom f^{-1} =\Re - \{\frac{0}{3}\} $
$Dom f^{-1} = 0$
• Imagen de $f^{-1}$:
$Im f^{-1} = \Re - \{ \frac{a}{c}\}$ (solo vale para funciones homográficas)
$Im f^{-1} = \Re - \{ - \frac{-2}{3}\} $
$Im f^{-1} = \Re - \{ \frac{2}{3}\} $
¿Notaste algo? Sí, exacto, son funciones inversas, por lo tanto:
El $Dom f = Im f^{-1}$ y la $Im f= Dom f^{-1}$