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• Primero obtenemos $(g \circ f)(x)$.
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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5. Sean $f(x)=k x-2$ y $g(x)=\frac{2 x+6}{-x+4}$. Hallar el valor de $k \in \mathbb{R}$ de modo que $(g \circ f)(1)=5$. Para el valor de $k$ hallado, calcular $(f \circ g)(1)$.
Respuesta
Tal como vimos en el curso, en este tipo de ejercicios tenemos que plantear la condición dada: $(g\circ f)(1)=5$
$f(x) = kx-2$
$g(x) = \frac{2x+6}{-x+4}$
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{2(kx-2)+6}{-(kx-2)+4} = \frac{2kx-4+6}{-kx+2+4} = \frac{2kx+2}{-kx+6}$
• Ahora tenemos que obtener $k$.
$(g \circ f)(1) = 5$
$\frac{2k(1)+2}{-k(1)+6} = 5$
$2k+2 = -5k+30$
$7k = 28 \rightarrow k = 4$
• Ya teniendo el valor de $k$, podemos obtener la función $(f \circ g)(x)$.
$f(x) = 4x-2$
$g(x) = \frac{2x+6}{-x+4}$
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 4\left(\frac{2x+6}{-x+4}\right)-2$
• Ahora tenemos que obtener $(f \circ g)(1)$.
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 4\left(\frac{2(1)+6}{-(1)+4}\right)-2 = 4\left(\frac{8}{3}\right)-2 = \frac{26}{3}$