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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4. Sean $f(x)=2 x-1$ y $g(x)=\frac{1}{x+3}-2$. Hallar las funciones $f \circ g$ y $g \circ f$. Escribir las ecuaciones de las asintotas verticales y horizontales de ambas funciones.
Respuesta
$f(x) = 2x-1$
$g(x) = \frac{1}{x+3}-2$
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• Primero vamos a obtener $f \circ g(x)$
$f \circ g(x) = f(g(x)) = 2\left(\frac{1}{x+3}-2\right)-1 = \frac{2}{x+3}-5$
• Asíntota Horizontal (A.H.)
$\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{2}{x+3}-5 = -5$
$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2}{x+3}-5 = -5$
Hay A.H. en $y=-5$
• Asíntota Vertical (A.V.)
1. Primero averiguamos el dominio
$x+3 \ne 0$
$x \ne 3$
Dom $f: \mathbb{R} -\{-3\}$
2. Evaluamos el límite en ese punto:
$\lim_{x\rightarrow-3^{-}} \frac{2}{x+3}-5 = -\infty$
$\lim_{x\rightarrow-3^{+}} \frac{2}{x+3}-5 = +\infty$
Hay A.V. en $x=-3$
• Ahora vamos a obtener $g \circ f(x)$
$g \circ f(x) = g(f(x)) = \frac{1}{2x-1+3}-2 = \frac{1}{2x+2}-2$
• Asíntota Horizontal (A.H.)
$\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{1}{2x+2}-2 = -2$
$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{1}{2x+2}-2 = -2$
Hay A.H. en $y=-2$
• Asíntota Vertical (A.V.)
1. Primero averiguamos el dominio
$2x+2 \ne 0$
$2x \ne -2$
$x \ne -1$
Dom $f: \mathbb{R} -\{-1\}$
2. Evaluamos el límite en ese punto:
$\lim_{x\rightarrow-1^{-}} \frac{1}{2x+2}-2 = -\infty$
$\lim_{x\rightarrow-1^{+}} \frac{1}{2x+2}-2 = +\infty$
Hay A.V. en $x=-1$