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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Hallar el dominio, la imagen, los ceros, los intervalos de positividad y de negatividad y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de $f$. Hacer un gráfico de
c) $f(x)=\frac{3 x+5}{x+1}$
c) $f(x)=\frac{3 x+5}{x+1}$
Respuesta
$f(x) = \frac{3x+5}{x+1}$
Dominio:
$x+1\neq0$
$x\neq-1$
• $Dom\ f: \mathbb{R} -{-1}$
Asíntotas Horizontales:
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x+5}{x+1} = \frac{\infty}{\infty}$
Salvamos la indeterminación:
$\lim_{x \to \infty} \frac{x( 3+\frac{3}{x})}{x(1+\frac{1}{x})} = \frac{3}{1} = 3$
• Hay A.H. en $y=3$
Imagen:
$Im\ f: \mathbb{R} -\{AH\}$
• Im $f$: $\mathbb{R} - \{3\}$.
Asíntotas Verticales:
$\lim_{x\rightarrow-1}\frac{3x+5}{x+1} = \infty$
• Hay A.V. en $x=-1$
Conjunto de ceros:
$f(x)=0$
$\frac{3x+5}{x+1}=0$
$3x+5=0$
$x=-\frac{5}{3}$
• $C^0 = \left\{-\frac{5}{3}\right\}$
Conjuntos de positividad y negatividad:
Es necesario hacer el análisis de signos mediante Bolzano, en base al $Dom f$ y al $C^0$.
• $C^{+}= \left(-\infty ; -\frac{5}{3}\right) \cup \left(-1 ; +\infty\right)$
• $C^{-}= \left(-\frac{5}{3} ; -1\right)$
TIP: Para graficar primero marcá las asíntotas y el conjunto de ceros. Luego evaluá los límites laterales y marcá a donde tiende la función. ¡Y listo! Si tenés dudas sobre ésto mirá el video de funciones homográficas.
• Límites Laterales
$\lim_{x\rightarrow-1^{-}}\frac{3x+5}{x+1} = -\infty$
$\lim_{x\rightarrow-1^{+}}\frac{3x+5}{x+1} = +\infty$