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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
Práctica 3 - Límite
1.
Hallar el dominio, la imagen, los ceros, los intervalos de positividad y de negatividad y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de $f$. Hacer un gráfico de
a) $f(x)=\frac{1}{x-2}$
a) $f(x)=\frac{1}{x-2}$
Respuesta
Bienvenido/a a las funciones homográficas. Vimos que son aquellas donde tenemos un cociente (división) de dos polinomios de grado 1 (funciones lineales). Se presentan en dos estructuras típicas, por lo que es fácil reconocerlas. Pero aunque no supieras reconocerlas podés resolver este ejercicio con las herramientas que ya adquiriste a lo largo del curso y de esta guía. Así que nada de excusas.
Reportar problema
Algunas cositas de utilidad sobre las funciones homográficas (los otros tips están en el curso online):
$Dom\ f: \mathbb{R} -\{AV\}$
$Im\ f: \mathbb{R} -\{AH\}$
¡Ahora sí, empecemos!
$f(x) = \frac{1}{x-2}$
Dominio:
Para encontrar el dominio, debemos identificar los valores de $x$ para los que la función no está definida, es decir, aquellos que anulan el denominador:
$x-2\neq0$
$x\neq2$
• $Dom\ f: \mathbb{R} -\{2\}$
Asíntotas Horizontales:
Calculamos el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende al infinito para determinar si hay una asíntota horizontal:
$\lim_{x\rightarrow\pm\infty} \frac{1}{x-2} = 0$
• Hay A.H. en $y=0$
Imagen:
Dado que hay una A.H. en $y=0$:
• $Im\ f: \mathbb{R} -\{0\}$
Asíntotas Verticales:
Calculamos el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a los valores restringidos del dominio para determinar si hay alguna asíntota horizontal:
$\lim_{x\rightarrow2} \frac{1}{x-2} = \infty $
• Hay A.V. en $x=2$
Conjunto de ceros:
Para encontrar los ceros de la función, resolvemos $f(x)=0$:
$f(x)=0$
$\frac{1}{x-2}=0 \rightarrow 1=0(x-2) \rightarrow 1=0$
¡Abs! No existen ceros
• $C^0$ = Ø
Conjuntos de positividad y negatividad:
Es necesario hacer el análisis de signos mediante Bolzano, una vez conocidos el $Dom f$ y el $C^0$.
• $C^{+}=(2 ; +\infty)$
• $C^{-}=(-\infty ; 2)$
TIP: Para graficar primero marcá las asíntotas y el conjunto de ceros. Luego evaluá los límites laterales y marcá a donde tiende la función. ¡Y listo! Si tenés dudas sobre ésto mirá el video de funciones homográficas.
• Límites Laterales
$\lim_{x\rightarrow2^{-}} \frac{1}{x-2} = -\infty$
$\lim_{x\rightarrow2^{+}} \frac{1}{x-2} = +\infty$
ExaComunidad
tao
12 de mayo 22:14
hola profe una consulta, al principio decis que dominio es igual a todos los reales - av pero despues cuando calculamos dominio es 2, no -2 como lo es originalmente la asintota vertical
1 respuesta
Daniela
12 de mayo 12:02
hola juli no termino de entender porque hay AH en y=1 es por el numerador??
1 respuesta
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