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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 3 - Límites y continuidad

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4. Dada la función $f(x)=\frac{x^{2}|x|+x^{3}+1}{x^{2}+3 x}$, analizar la existencia de asíntotas horizontales u oblícuas para el gráfico de esta función.

Respuesta

Asíntotas horizontales

Como siempre, lo primero que hago es entender cómo voy a escribir esa cosa con módulo. Acordate que si $x$ es positivo, entonces $|x| = x$ y si $x$ es negativo $|x| = -x$. Entonces, mucha atención como voy a escribir la función cuando tome el límite a $+\infty$ y a $-\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}\cdot x+x^{3}+1}{x^{2}+3 x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3+x^{3}+1}{x^{2}+3 x} =  \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+1}{x^{2}+3 x} $

Y este límite nos da $+\infty$, lo justificamos sacando factor común el que manda. ¿Te animás a subirme una foto de tu hoja mostrándome cómo te quedo cuando sacaste factor común ahí y por qué efectivamente da $+\infty$? Mejor equivocarse ahora en un entorno seguro que en unas semanas adentro del parcial digo yo 😝

Vamos ahora en $-\infty$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{2}\cdot (-x) +x^{3}+1}{x^{2}+3 x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x^3+x^{3}+1}{x^{2}+3 x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2}+3 x} = 0$

Muy bien, entonces... nuestra función tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ en $-\infty$. Como en $+\infty$ la función se está yendo a $+\infty$ podría ser que se esté pegando a una asíntota oblicua, vamos a averiguarlo. 

Asíntota oblicua

Sabemos que nuestra asíntota oblicua es de la forma $y = mx +b$. Arrancamos viendo si existe $m$

Aclaración: Como estamos en el caso $x$ tendiendo a $+\infty$ fijate que sigo usando la expresión para $x > 0$ ;)

$ m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} $

$ m = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x^3+1}{x^2+3x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+1}{x(x^2+3x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+1}{x^3+3x^2} = 2$

Invito a quien quiera a dejar abajo una foto de su hojita justificando por qué este límite da $2$ (sacando factor común "el que manda") 😄

Ahora calculamos la ordenada al origen $b$

$ b = \lim_{x \to +\infty} \left( f(x) - mx \right) $
$ \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x^3+1}{x^2+3x} - 2x \right) $

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+1 - 2x^3 - 6x^2}{x^2+3x} $
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 6x^2}{x^2+3x} = -6$

(Y si, ya que estamos aprovechá y dejame también este límite ¿por qué da $-6$?) 

Por lo tanto, $b = -6$ y llegamos a la conclusión que $y = 2x - 6$ es asíntota oblicua de $f$ en $+\infty$.

Espero las fotitos de sus hojassss 🙂
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Avatar Valentino 17 de julio 07:22
hola flor, estoy practicando de nuevo los ejercicios para el final y tengo una duda con este, cuando ya tenes la formula de la A.O, no tenes q comprobar q da 0? osea q lim cuando x tiende a +inf de f(x) - (mx+b) = 0?


Avatar Flor Profesor 17 de julio 09:50
@Valentino Hola Valen! A vos te dijeron que al final tenías que hacer esa verificación? O sea, si, ese límite tendría que dar cero, pero sería medio redundante, porque fijate que vos acá cuando calculaste la ordenada al origen $b$ planteaste:

$ b = \lim_{x \to +\infty} f(x) - mx $

y resolviste este límite. Esto es equivalente a (si pasas la $b$ restando para la derecha)... 

$ 0 = \lim_{x \to +\infty} f(x) - mx - b $

que ese límite te de cero... ¿se entiende? 

Qué buena noticia que llegaste a final! Un alumno me pasó un pdf con un montón de finales de Palacios Puebla para practicar, que se ve que lo armó algún profe, mandame un mail a florcutraro@gmail.com así te lo paso por si no lo tenés, y si podés ponelo a circular y compartiselo a todos tus compañeros si tienen algún grupo de WhatsApp que seguro les va a venir bien :)
Avatar Valentino 17 de julio 16:21
aahhh okey okey, nono, no me habian dicho q tenia q verificar, solo era una duda porq no lo entendia yo. Gracias florr, ahi te mando por mail

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