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$f(x)=\frac{5x}{x^2-4}$
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@Delfi Hola Delfi! Buena pregunta! Esos valores son los coeficientes siguientes: $a x^2 + bx + c$.
O sea, $a$ es el número que acompaña a la $x^2$, así que nunca puede valer cero.
$b$ es el que acompaña a la $x$
$c$ es el término independiente. No hay $x$ ahí. Es un número solito.
A esta altura no tienen por qué saber cómo hacer la fórmula resolvente. Eso lo vemos en la práctica de funciones, particularmente funciones cuadráticas donde les enseño a hacer esa fórmula 😁
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@Milenka Hola Mile, una forma es calcular el domini, para ver justamente donde la función existe y comparar con ese otro valor. Otra manera es armarte la tabla de valores. Igual te recomiendo ver el video de dominio de funciones antes de hacer estos ejercicios.
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@Julieta hola una consulta, la tabla de valores seria igual al ejercicio 1, pero con 4/3 y con -3?
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@Jazmín ¡Hola Jaz! Estpa ahí, se transformó en un -6 que está en el denominador de la resolvente.
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2.
Hallar en los siguientes casos el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$.
c) $f(x)=\frac{5 x}{x^{2}-4}$
c) $f(x)=\frac{5 x}{x^{2}-4}$
Respuesta
Para resolver estos ejercicios es indispensable que hayas visto el video de dominio de funciones, para que puedas reconocer las tres restricciones de dominio que te expliqué.
Vamos con el ejercicio. Nos piden hallar el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$
Primero calculamos el dominio de la función:
¡Tenemos una división con $x$ en el denominador! Para encontrar el dominio vamos a tener que asegurarnos de que el denominador no sea igual a cero:
$x^2-4\neq0$
$x^2\neq4$
$\sqrt{x^2}\neq\sqrt{4}$
$|x|\neq\sqrt{4}$
$|x|\neq2$
Resolviendo el módulo nos queda $x \neq -2$ y $x \neq 2$, es decir:
$\text{Dom } f= \mathbb{R} - \{-2; 2\}$ o, lo que es lo mismo: $(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)$
💡 Mi recomendación es que de este ejercicio te lleves el cálculo del dominio. No te vuelvas loco/a con lo de la imagen.
Lo que podemos hacer para saber si -3 si pertenece a la imagen de la función, es buscar si hay algún valor de $x$ que haga que $f(x)=-3$. Para hacer esto tenemos que reemplazar el -3 como resultado de la función y ver si corresponde a una $x$ que pertenezca al dominio de la función:
Es decir, planteamos que $f(x)= -3$ y despejamos $x$:
$\frac{5x}{x^2-4} = -3$
$5x = -3(x^2-4)$
$5x = -3x^2+12$
$0 = -3x^2 - 5x +12$
Usamos la fórmula resolvente de cuadráticas, sabiendo que $a=-3$, $b=-5$ y $c=12$, y nos queda:
$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(-3)(12)}}{2(-3)}$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{-6}$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{-6}$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm 13}{-6}$
Entonces, las soluciones son:
$x_1 = \frac{5 + 13}{-6} = -3$
$x_2 = \frac{5 - 13}{-6} = \frac{4}{3}$
Estos dos valores de $x$ están dentro del dominio de la función: $(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)$. Así que $-3$ sí que pertenece a la imagen.
Conclusión: $-3$ pertenece a la imagen de la función. $-3 \in \operatorname{Im} f$
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Comentarios
Delfi
16 de abril 22:50
Hola profe, para resolver la cuadratica da igual cual sea a, b y c? Por que al hacer el pasaje me quedaron distintos.
Julieta
PROFE
17 de abril 12:05
O sea, $a$ es el número que acompaña a la $x^2$, así que nunca puede valer cero.
$b$ es el que acompaña a la $x$
$c$ es el término independiente. No hay $x$ ahí. Es un número solito.
A esta altura no tienen por qué saber cómo hacer la fórmula resolvente. Eso lo vemos en la práctica de funciones, particularmente funciones cuadráticas donde les enseño a hacer esa fórmula 😁
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Milenka
24 de mayo 19:45
profe una pregunta como uno se da cuenta que esos valores estan dentro del dominio de la funcion?
Julieta
PROFE
30 de mayo 13:52
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Magdalena
13 de abril 18:46
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Jazmín
14 de mayo 10:25
buen dia profe! te queria preguntar que paso con el signo - del numero 3 en la formula resolvente... no deberia quedar 2.(-3)= -6 en el denominador? espero que se entienda mi duda. Gracias!
Julieta
PROFE
16 de mayo 6:55
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