💡 Mi recomendación es que de este ejercicio te lleves el cálculo del dominio. No te vuelvas loco/a con lo de la imagen.

Lo que podemos hacer para saber si -3 si pertenece a la imagen de la función, es buscar si hay algún valor de $x$ que haga que $f(x)=-3$. Para hacer esto tenemos que reemplazar el -3 como resultado de la función y ver si corresponde a una $x$ que pertenezca al dominio de la función:

Es decir, planteamos que $f(x)= -3$ y despejamos $x$:

$f(x)=\sqrt{x+2} = -3$ Esta ecuación no tiene solución en los números reales. Esto se debe a que la raíz cuadrada (o cualquier otro número par) de cualquier número real es siempre no negativa $( \ge 0)$, y por lo tanto, no puede ser un número negativo como el -3.

Y sí, ésto se relaciona con que la restricción de dominio cuando tenés raíces de índice par su argumento es siempre mayor a cero . Es decir, para cualquier valor de $x$ dentro de su dominio siempre va a dar como resultado un valor positivo de la función (esto lo vamos a ver más adelante en la materia, pero ya podés ir anotándolo). Y en este caso, ocurre que estamos preguntándonos si la función en algún momento vale -3 (un número negativo). La respuesta es un rotundo NO. No hay valor de $x$ que al reemplazarlo en f(x) haga que ésta dé como resultado $-3$.

Si no te convencí, hacé la gráfica de la función $f(x)=\sqrt{x+2}$ usando una tabla de valores (o usa una calculadora gráfica como geogebra para armar el gráfico) y vas a ver lo que te digo jeje, pero no es necesario que te vuelvas loco/a.

Conclusión: $-3$ no pertenece a la imagen de la función. $-3 \notin \operatorname{Im} f$