1) Identificamos el dominio de $f(x)$ En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

$ \lim_{x \to +\infty} (x+1)^{3} e^{\frac{3}{4} x^{2}-5}-3 = +\infty $

$ \lim_{x \to -\infty} (x+1)^{3} e^{\frac{3}{4} x^{2}-5}-3 = -\infty $

3) Calculamos $f'(x)$: 

\( f'(x) = 3(x+1)^2 e^{\frac{3}{4} x^2 - 5} + (x+1)^3 e^{\frac{3}{4} x^2 - 5} \cdot \frac{3}{2}x \)

Ahora, pensemos lo siguiente. Si nosotros queremos demostrar que la ecuación $f(x)=k$ tiene exactamente una solución para todo $k$, eso es equivalente a pedir que $f$ sea monótona, o sea que siempre sea creciente o decreciente en todo su dominio. En particular, por el comportamiento que vimos cuando buscamos asíntotas horizontales, debería ser monótona creciente. Entonces, probemos que $f'(x)$ siempre es positiva o negativa. Reescribamosla un poco para que esto sea evidente:

Sacamos factor común la exponencial

\( f'(x) = e^{\frac{3}{4} x^2 - 5} \left[ 3(x+1)^2 + \frac{3}{2}x(x+1)^3 \right] \)

Sacamos factor común $(x+1)^2$

\( f'(x) = e^{\frac{3}{4} x^2 - 5} \cdot (x+1)^2 [3 + \frac{3}{2}x(x+1) ] \)

\( f'(x) = e^{\frac{3}{4} x^2 - 5} \cdot (x+1)^2 [3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{2}x  ] \)

Entonces tenemos multiplicándose: Una exponencial (que siempre es $>0$), el término $(x+1)^2$ que también es siempre $>0$ y por último una cuadrática entre corchetes. Esta cuadrática podés probar que efectivamente siempre es $>0$ (fijate que no tiene raíces y es cóncava hacia arriba, graficala en GeoGebra para convencerte). 

Por lo tanto, $f'(x)$ siempre es positiva (por lo tanto $f$ es siempre creciente). 

De esta manera, juntando el comportamiento de $f$ en $+$ y en $-\infty$ y sabiendo que es monótona creciente, probamos que para todo $k \in \mathbb{R}$ la ecuación $f(x)=k$ tiene exactamente una solución :)