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@Ezequiel Hola Eze! Lo más importante es que hayas entendido por qué no existe... Fijate que tenés algo que tiende a $+\infty$ multiplicando a algo que oscila todo el tiempo... entonces, en más infinito vas a tener una función que en + infinito sigue oscilando haciéndose cada vez más grande (probá de graficarla en GeoGebra)
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@Benjamín Hola Benja! Porque en $+\infty$ esta función oscila haciendo cada vez más y más grande, jamás se podría estar pegando a una asíntota ni horizontal ni oblicua (graficala en GeoGebra y creo que se va a ver más claro lo que digo)
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5.
Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para $x \rightarrow +\infty$ como para $x \rightarrow -\infty$) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
a) $f(x)=x+e^{x} \operatorname{sen} x$
a) $f(x)=x+e^{x} \operatorname{sen} x$
Respuesta
Asíntotas verticales
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Como el dominio de esta función es $\mathbb{R}$, no tiene asíntotas verticales
Asíntotas horizontales
Calculamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$\lim_{x \to -\infty} x+e^{x} \sin (x) $
Acordate que $e^{x}$ tiende a $0$ cuando el exponente tiende a $-\infty$... y está multiplicando a una función que está acotada! Así que nos queda:
$\lim_{x \to -\infty} x+e^{x} \sin (x) = -\infty + 0 = -\infty $
Ahora calculamos el límite $x \to +\infty$
$\lim_{x \to +\infty} x+e^{x} \sin (x) $
Ojo acá, el límite
$\lim_{x \to +\infty} e^{x} \sin (x) $
no existe, esto oscila haciendose cada vez más y más grande.
Por lo tanto,
$\lim_{x \to +\infty} x+e^{x} \sin (x) =$ No existe
En conclusión $f$ no tiene asíntotas horizontales. Veamos si en $-\infty$ tenemos asíntota oblicua:
Asíntota oblicua
\( m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + e^x \sin(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} 1 + \frac{e^x \sin(x)}{x} = 1 + 0 = 1 \)
\( b = \lim_{x \to -\infty} f(x) - mx = \lim_{x \to -\infty} (x + e^x \sin(x) - x) = 0\)
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota oblicua en $y = x$ en $-\infty$
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Ezequiel
25 de diciembre 15:45
Buenas profe, tengo dudas. En el cuarto paso de asíntotas horizontales, cuando decís que lim tendiendo a más infinito de e^x por sen(x) no existe, hay alguna de forma de demostrarlo? (Como hacemos a veces)
Ahora bien, si no existe, ok, pero no se puede poner el resultado del que existe?Claro el que no existe no es igual a cero.
Flor
PROFE
26 de diciembre 19:36
Si fuera el parcial a desarrollar, lo podés justificar así, tipo lo escribis... pero vos ahora estás preparando el final, así que por eso me quiero quedar tranqui que hayas entendido bien eso!
Por otra parte, en $-\infty$ ahí el límite si existe, por eso pusimos el resultado... pero ahí la situación es otra, porque tenemos algo que tiende a cero ($e^{x}$ tiende a 0 cuando $x$ tiende a $-\infty$) multiplicando a algo que oscila... entonces vas a tener ahora algo que sigue oscilando en menos infinito pero se acerca cada vez más al cero (oscilando)
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Benjamín
28 de mayo 20:55
Hola buenas. Por qué calculaste el limite en menos infinito de la asintota oblicua y no en mas infinito?
Flor
PROFE
29 de mayo 9:28
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