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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
18. Sea $R(x)$ una función con 3 derivadas continuas en $x=0$ y tal que $R(0)=R'(0)=R''(0)=0$. Pruebe que $\frac{R(x)}{x^{3}}=\frac{R'''(c)}{3!}$ para algún $c$ entre 0 y $x$. (Ayuda: use el Teorema de Cauchy 3 veces.)
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Comentarios
Claudia
29 de julio 17:24
Hola! Cuando aplicás el teorema por segunda vez, cómo justificás que cambiás el intervalo a (0,c1) ? (y también hacés lo mismo luego con (0,c2) gracias!
Flor
PROFE
29 de julio 17:51
Cuando aplicamos el Teorema de Cauchy por primera vez planteamos que:
$\frac{R(x) - R(0)}{x^3 - 0^3} = \frac{R'(c_1)}{3c_1^2}$
en el intervalo $[0, x]$
Ahora, después en el siguiente paso buscamos reescribir: $\frac{R'(c_1)}{3c_1^2}$, entonces por eso ahora aplicamos el Teorema en el intervalo $[0,c_1]$
$\frac{R'(c_1) - R'(0)}{3c_1^2 - 0^2} = \frac{R''(c_2)}{6c_2}$
(donde $c_2$ es algún número entre $0$ y $c_1$)
y después lo mismo para el siguiente, buscamos reescribir esto:
$\frac{R''(c_2)}{6c_2}$
y por eso aplicamos el Teorema en el intervalo $[0,c_2]$
Espero que con esto haya quedado más claro, igual tranqui con este ejercicio que es medio volado para lo que apunta la materia
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