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@Caro Hola Caro! Ojo en el arranque, porque ese $\sqrt{n}$ está multiplicando a todo el paréntesis... en estos ejercicios, te va a convenir "arrastrar" eso que multiplica al paréntesis donde tenés la indeterminación, porque si hacés la distributiva se torna más cuentoso...
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@Flor Ahh, ahí me quedó mucho más claro Flor. Voy a probar hacer eso, muchas gracias <333
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
g) $g_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$
g) $g_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$
Respuesta
Calculamos ahora este límite:
Reportar problema
$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$
Y ahora sí, volvieron las indeterminaciones "infinito menos infinito". Arrancamos multiplicando y dividiendo por el conjugado como hicimos en los items anteriores...
$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} $
Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados y simplificamos, nos queda...
$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} $
Ahora estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", arrancamos sacando factor común "el que manda" adentro de la raíz:
$\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{2}{\sqrt{n(1+\frac{2}{n})} + \sqrt{n}} $
Distribuimos la raíz y sacamos factor común $\sqrt{n}$ en el denominador, nos queda:
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n} \cdot 2}{\sqrt{n}(\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1)} $
Simplificamos \(\sqrt{n}\) y tomamos límite:
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1} = 1 $
Por lo tanto, el resultado de este límite es...
$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) = 1 $
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Comentarios
Caro
16 de mayo 21:36
Hola Flor, cómo estás? En este ejercicio para hacer la dif de cuadrados interpreté al valor de "a" y "b" de esta forma, pero me cuesta entender como lo hiciste vos :(
Flor
PROFE
17 de mayo 18:56
Fijate que vos ya identificaste que acá está el problema, en el paréntesis $(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$, donde tenés una infinito - infinito... Entonces, arrastra ese $\sqrt{n}$ multiplicando y salvá esa indeterminación inf - inf multiplicando por el conjugado de lo del paréntesis (otra opción sino es fijarte a donde tiende eso en un cálculo auxiliar)
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Caro
17 de mayo 20:07
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