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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas determine en qué intervalo crece, en qué intervalo decrece, dónde es positiva, dónde es negativa, en qué puntos se anula y en qué puntos alcanza su extremo.
c) $f(x)=-2 x^{2}+x$
c) $f(x)=-2 x^{2}+x$
Respuesta
Primero armemos el gráfico de esta función, con el esquema que vimos en la clase de Función Cuadrática y que también fuimos siguiendo en el Ejercicio 8.
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$f(x)=-2 x^{2}+x$
Para esta cuadrática $a = -2$, $b=1$ y $c=0$.
1. La parábola tiene concavidad hacia abajo, es decir, es una "carita triste" (ya que $a=-2$, es negativo)
2. Buscamos las raíces resolviendo \(f(x) = 0\):$-2 x^{2}+x = 0$
Acá podemos aplicar la fórmula resolvente o, en este caso, podemos sacar factor común $x$:
$x \cdot (-2x + 1) = 0$
Acordate que cuando tenés dos cosas multiplicándose que te están dando cero, es porque alguno de los factores es cero. Entonces,
$x=0 \rightarrow$ Esta es una raíz
$-2x+1 = 0 \rightarrow$ Que despejando nos da $x=\frac{1}{2}$, la otra raíz
Tenemos dos raíces entonces, en $x=0$ y $x=\frac{1}{2}$.
3. Calculamos el vértice. Para el $x$ del vértice planteamos \(x = -\frac{b}{2a}\) $=-\frac{1}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{4}$ .
Para el $y$ del vértice planteamos \(f(\frac{1}{4}) = \frac{1}{8}\). Por lo tanto, el vértice está en $(\frac{1}{4},\frac{1}{8})$.
Listo, ya tenemos todo para graficarla, nos quedaría algo así...
Hagamos ahora el análisis que nos pide este enunciado:
* Intervalo de crecimiento: $(-\infty, \frac{1}{4})$
* Intervalo de decrecimiento: $(\frac{1}{4}, +\infty)$
* Conjunto de positividad: $(0, \frac{1}{2})$
* Conjunto de negatividad: $(-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2},+\infty)$
* La función se anula en $x=0$ y $x=\frac{1}{2}$.
* Alcanza un máximo en su vértice, en el punto $(\frac{1}{4},\frac{1}{8})$
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