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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

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6.22. Indicar cuál es la opción correcta y justificar: El área encerrada entre las curvas y=ex,y=e−x,x=1y=e^{x}, y=e^{-x}, x=1 y x=−1x=-1 se calcula como:


□\square ∫−11(ex−e−x)dx\int_{-1}^{1}(e^{x}-e^{-x}) d x

□\square ∫−10e−xdx+∫01exdx\int_{-1}^{0} e^{-x} d x+\int_{0}^{1} e^{x} d x

□\square ∫−10(e−e−x)dx+∫01(e−ex)dx\int_{-1}^{0}(e-e^{-x}) d x+\int_{0}^{1}(e-e^{x}) d x

□\square ∫−10(e−x−ex)dx+∫01(ex−e−x)dx\int_{-1}^{0}(e^{-x}-e^{x}) d x+\int_{0}^{1}(e^{x}-e^{-x}) d x

Respuesta

Acá en este ejercicio claramente nos va a convenir hacer el gráfico de las funciones involucradas y=exy=e^{x} y y=e−xy=e^{-x}. Fijate que son dos funciones fáciles, de la Práctica 1, que deberíamos saber graficar. Eso nos va a dar prácticamente enseguida la respuesta correcta, mirá: 

2024-04-30%2020:01:55_8646144.png

La intersección entre exe^x y e−xe^{-x} se da en x=0x=0. Eso no es necesario que te lo acuerdes, es simplemente plantear

ex= e−xe^x = e^{-x}

x=−xx = -x

2x=02x = 0

x=0x = 0

Ya tenemos entonces que hay un punto de intersección en x=0x=0, además de los límites de integración impuestos x=−1x=-1 y x=1x=1 que ya los marqué en el gráfico. 

La integral del área nos queda así entonces

∫−10(e−x−ex)dx+∫01(ex−e−x)dx\int_{-1}^{0}(e^{-x}-e^{x}) d x+\int_{0}^{1}(e^{x}-e^{-x}) d x

y por lo tanto esa es la opción correcta :)
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